Walshfunktion

Walsh-Funktionen (nach dem Mathematiker Joseph Leonard Walsh) sind mathematische Funktionen, die in der Signalverarbeitung verwendet werden.

Definition

Die kontinuierlichen Walsh-Funktionen wal_n(x) sind definiert durch:

$\begin{matrix} {\rm wal}_{0}(x) & := & \left\{ \begin{matrix} 1\ , & \quad-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}\ ,\\ 0 & {\rm sonst}\ ,\end{matrix}\right.\\ \\ {\rm wal}_{2n}(x) & := & (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\cdot\left({\rm wal}_{n}(\frac{4x+1}{2})+(-1)^{n}{\rm wal}_{n}(\frac{4x-1}{2})\right)\ ,\\ \\ {\rm wal}_{2n+1}(x) & := & (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor +1}\cdot\left({\rm wal}_{n}(\frac{4x+1}{2})+(-1)^{n+1}{\rm wal}_{n}(\frac{4x-1}{2})\right)\ . \end{matrix}$

Die Walshfunktionen sind orthogonal, d.h., es gilt für alle n,m

$\begin{matrix} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} & {\rm wal}_{n}(x)\cdot {\rm wal}_{m}(x){\rm d}x=\left\{ \begin{matrix}{} 1\ ,\quad n=m\ ,\\ 0\ ,\quad n\neq m\ .\end{matrix}\right. \end{matrix}$

Eigenschaften

• Die Walshfunktionen sind reziprok zu sich selbst.
• Die Variablen der Walshfunktionen können vertauscht werden.
• Das Produkt zweier Walshfunktionen ergibt eine neue Walshfunktion.

Anwendung

Orthogonale Funktionen spielen in der digitalen Signalverarbeitung für die Signalapproximation eine wichtige Rolle. Die Walshfunktionen sind nichtharmonische Funktionen (also rechteckig) und somit sehr gut geeignet, rechteckige Eingangssignale zu beschreiben. Dazu werden endlich viele Walshfunktionen über das zu approximierende Signal gelegt. Die Differenz der Integrale von Signal und Walshfunktion gibt den entsprechenden Koeffizienten an.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Walsh Functions auf MathWorld (englisch)