Waring'sches Problem

Das Waringsche Problem ist eine Problemstellung der Zahlentheorie. In seinem Werk Meditationes algebraicae (1770) stellte Edward Waring eine Vermutung auf, die den Vier-Quadrate-Satz verallgemeinerte.

Der Vier-Quadrate-Satz besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens vier Quadratzahlen dargestellt werden kann. Er wurde 1621 von Bachet und 1640 von Fermat vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen.

Das Waringsche Problem

Warings Verallgemeinerung besagt, dass zu jedem natürlichen Exponenten k eine natürliche Zahl g existiert, so dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens g k-ten Potenzen dargestellt werden kann. Mit anderen Worten: Es geht darum, die kleinste Anzahl von Summanden anzugeben, die notwendig ist, so dass jede natürliche Zahl als Summe von Zahlen mit dem Exponenten k darstellbar ist. Beispielsweise besagt der Vier-Quadrate-Satz, dass jede natürliche Zahl durch eine Summe von höchstens vier Quadratzahlen (also g=4 und k=2) darstellbar ist.

Beweise

Warings Vermutung, dass eine Zahl g zu jedem k existiert, also eine Höchstanzahl von Summanden für alle Exponenten findbar ist, wurde 1909 von David Hilbert bewiesen. Die Aussage wird deshalb manchmal auch als Hilbert-Waring-Theorem bezeichnet.

Die kleinstmögliche Zahl g für einen Exponenten k bezeichnet man als g(k). Es ist g(1) = 1. Berechnungen zeigen, dass die Zahl 7 vier Quadrate benötigt, 23 benötigt 9 Kubikzahlen, und 79 benötigt 19 vierte Potenzen. Waring vermutete, dass diese Werte die bestmöglichen sind, also g(2) = 4, g(3) = 9 und g(4) = 19.

Durch den Vier-Quadrate-Satz ist g(2) = 4 bewiesen.

Dass g(3) = 9 ist, wurde 1912 von Arthur Wieferich und A. J. Kempner bewiesen.

g(4) = 19 wurde 1986 von R. Balasubramanian, F. Dress, und J.-M. Deshouillers gezeigt.

g(5) = 37 wurde im Jahr 1964 von Chen Jingrun nachgewiesen.

Und Pillai zeigte 1940, dass g(6) = 73.

Weiterführende Überlegungen

Durch die Arbeit von Dickson, Pillai, Rubugunday und Niven sind nun alle anderen g(k) ebenfalls bekannt. Ihre Formel umfasst zwei Fälle, wobei vermutet wird, dass der zweite Fall für kein k auftritt. Für den ersten Fall lautet die Formel:

$g(k) = \left \lfloor \left(\frac{3}{2} \right)^k \right \rfloor +2^k - 2$, für $k \geq 1$.

Weblinks

• Waring's Problem auf mathword.wolfram.com (englisch)