Beersches Gesetz

Das Lambert-Beersche Gesetz ist eine Vereinigung des Bouguer-Lambertschen Gesetzes über die Schwächung der Strahlungsintensität mit der Weglänge beim Durchgang durch eine absorbierende Substanz mit dem Beerschen Gesetz über den Zusammenhang der Intensitätsschwächung mit der Konzentration der absorbierenden Substanz. Das Gesetz bildet die Grundlage der modernen Fotometrie als analytische Methode.

Streng genommen ist das Gesetz für monochromatische Strahlung (Licht) gültig. Da bei hohen Konzentrationen der Zusammenhang nicht mehr linear ist, kann die Konzentration fotometrisch nur für verdünnte Lösungen und Gase bestimmt werden. Das ändert nichts an der prinzipiellen Gesetzmäßigkeit für Festkörper und Gasräume.

Extinktion in der Fotometrie

Extinktion eines Lichtstrahls durch eine Küvette der Dicke l.

Die Extinktion E_λ (Absorbanz des Materials für Licht der Wellenlänge λ) ist gegeben durch

$E_\lambda = -\lg \! \left(\frac{I_{1}}{I_{0}}\right) = \epsilon_{\lambda} \cdot c \cdot d$

mit

• I₁: Intensität des transmittierten Lichtes
• I₀: Intensität des einfallenden (eingestrahlten) Lichtes
• c: Konzentration der absorbierenden Substanz in der Flüssigkeit (typische Einheiten: mol·dm⁻³ oder mol·l⁻¹)
• ε_λ: dekadischer molarer Extinktionskoeffizient bei der Wellenlänge λ. Dieser ist eine für die absorbierende Substanz spezifische Größe und kann unter anderem vom pH-Wert oder vom Lösungsmittel abhängen.
• d: Schichtdicke des durchstrahlten Körpers.

Die Abnahme der Lichtintensität beim Durchqueren einer Probelösung mit der Konzentration c kann auch durch folgende abfallende Exponentialfunktion beschrieben werden:

$I_1 = I_0 \, e^{-\epsilon^* c\, d}$

Durch Umformen der Gleichung ergibt sich:

$- \ln \! \left(\frac{I_1}{I_0}\right) = \epsilon^* c\, d$.

Die Extinktion und der Extinktionskoeffizient werden allerdings nicht über den natürlichen Logarithmus definiert. Da der dekadische und der natürliche Logarithmus linear zusammenhängen, entspricht der Übergang einem Faktor in der Gleichung. Dieser wird einfach in die Konstante einbezogen: Aus ε ^* wird $\epsilon=\lg(e) \epsilon^*\approx 0{,}434 \epsilon^*$.

$- \lg \! \left(\frac{I_1}{I_0}\right) = \epsilon\, c\, d$.

Dabei ist ε der dekadische molare Extinktionskoeffizient.

Die Extinktion ist (wie die Brechzahl eines Stoffes) von der Wellenlänge λ des eingestrahlten Lichtes abhängig (vgl. Dispersion), in Formulierung der Wellenlängenabhängigkeit mit dem Extinktionskoeffizienten k (Imaginärteil der komplexen Brechzahl):

$\epsilon' = \frac{4 \pi k}{\lambda}$.

Im Gegensatz zur Farbdispersion bei der Brechung ist hier die Abhängigkeit von der Wellenlänge nicht durch ein rein physikalisches Gesetz vorgegeben. Im Wesentlichen wird die Wellenlängenabhängigkeit durch die molekularen Eigenschaften der absorbierenden Substanz bestimmt. Farbige Substanzen zeigen meist auf der Skala der Wellenlängen ein oder mehrere definierte Absorptionsmaxima. Andere Farbstoffe zeigen oft eine mit der Wellenlänge im sichtbaren Bereich kontinuierlich zunehmende oder abnehmende Extinktion. Diese Eigenschaften gehen in der Regel auf die Molekülstruktur, insbesondere auf Elektronenkonfigurationen in den Molekülen zurück.

Diese Tatsache wird in der chemischen Analytik genutzt. Eine Reihe von Substanzen kann aufgrund ihrer spezifischen spektralen Extinktionsverläufe direkt identifiziert und quantitativ gemessen werden (z. B. Chlorophylle, Hämoglobin). Andere – „farblose“ – Substanzen werden einer spezifischen Nachweisreaktion unterworfen, in deren Verlauf sich ein sehr charakteristischer Farbstoff bildet. Durch das Ansprechen dieser Farbbildung ist der qualitative sowie der quantitative Nachweis der betreffenden Substanz möglich (z. B. in der Wasseranalytik die Bestimmungen von Nitrit, Nitrat, Ammonium und Phosphat) Jeder der Nachweise wird bei der Wellenlänge der maximalen spezifischen Extinktion geführt, da hierbei die größte Messempfindlichkeit zu erreichen ist.

Strahlungsdämpfung allgemein

Das gleiche Gesetz gilt auch für den Abfall der Intensität von sich in dämpfenden Stoffen ausbreitender Strahlung aller Art. Es stellt so die Beziehung zur Berechnung der Dämpfung optischer Strahlung in Lichtwellenleitern (LWL) oder in dämpfenden optischen Medien oder die Abhängigkeit der Abschirmwirkung gegenüber radioaktiver Strahlung von der Dicke des Schirmes dar. Umgekehrt kann mit diesem Zusammenhang bei Kenntnis beider Intensitäten eine Dickenmessung erfolgen.

Die durch ein Medium der Länge l hindurchtretende Strahlungsleistung P(d) ist:

$P(d) = P_0 \cdot e^{-\epsilon'd}$.

mit

• P₀ … eintretende Leistung
• ε' … Dämpfungsfaktor bzw. Absorptionskoeffizient in m⁻¹
• d … Materialstärke bzw. -länge in m.

Dabei ist ε' oft stark von der Wellenlänge λ und vom Material abhängig.

Lichtwellenleiter

Für das in Langstrecken-Lichtwellenleitern verwendete Silikatglas verringert sich ε'(λ) zwischen dem sichtbaren Bereich um 0,6 µm bis ca. 1,6 µm mit der vierten Potenz der Wellenlänge; an dieser Stelle erfolgt dann eine steile Erhöhung der Dämpfung durch eine Materialresonanz des Glases. Ein weiterer Dämpfungspol liegt im Ultraviolett-Bereich. Hydroxy-Ionen im Glas, die man zwar durch spezielle Herstellungstechnologien zu vermeiden sucht, verursachen eine selektive Dämpfungserhöhung bei etwa 1,4 µm (Infrarotspektroskopie). Die Dämpfungswerte für die in LWL-Kurzstrecken eingesetzten Kunststofffasern sind höher und sind ebenfalls stark material- und wellenlängenabhängig, zweckbestimmt im sichtbaren Bereich am geringsten.

An Stelle der oben angegebenen Schreibweise wird in der Signalübertragungstechnik die Darstellung

$P(d) = P_0 \cdot 10^{-(\epsilon d)/10}$

verwendet ( α die Dämpfung in dB/km und d die Länge des LWLs in km ist), weil in der Nachrichtentechnik durchweg das Verhältnis von (elektrischen ebenso wie optischen) Leistungen im dezimal-logarithmischen Maß dB (Dezibel) angegeben wird:

$\epsilon_{/dB}=10 \cdot \log\frac{P_0}{P_1}$

Fernerkundung/Atmosphäre

Für die Atmosphäre wird das Lambert-Beersche Gesetz üblicherweise wie folgt formuliert:

$I = I_0\,e^{-m(\tau_a+\tau_g+\tau_{NO2}+\tau_w+\tau_{O3}+\tau_r)}$

wobei m für die atmosphärische Masse und τ_x für die optischen Dicken des enthaltenen Stoffes x steht. Im Beispiel steht x für:

• a … Aerosole (absorbierend und streuend)
• g … homogene Gase wie CO₂ und molekularen Sauerstoff (O₂) (ausschließlich absorbierend).
• NO₂ … Stickstoffdioxid (absorbierend)
• w … Wasserdampf (absorbierend)
• O₃ … Ozon (absorbierend)
• r … Rayleigh-Streuung durch molekularen Sauerstoff (O₂) und Stickstoff (N₂) (himmelblau).

Die Bestimmung von τ_a ist notwendig für die Korrektur von Satellitenbildern und beispielsweise von Interesse bei der Klimabeobachtung.

Geschichte

Das Lambert-Beersche Gesetz wurde von Pierre Bouguer vor dem Jahre 1729 entdeckt. Häufig wird es fälschlicherweise Johann Heinrich Lambert zugeschrieben, der Bouguers „Essai d'optique sur la gradation de la lumière“^[1] in seiner „Photometria“ (1760)^[2] anführt und sogar daraus zitiert. Im Jahre 1852 erweiterte August Beer das Gesetz, indem er die Konzentration des Absorbanten in Abhängigkeit zum transmitterten Licht stellte.^[3]

Weblinks

• Lambert und Beer. Auf: www.biorama.ch (geprüft am: 22. Juni 2008)
• Prof. Blumes Medienangebot: Das Lambert-Beersche Gesetz (geprüft am: 22. Juni 2008)

Einzelnachweise

1. ↑ P. Bouguer: Essai d'Optique sur la gradation de la Lumiere. In: Claude Jombert. Paris 1729, S. 164ff.. 
2. ↑ J. H. Lambert: Photometria, sive de mensura et gradibus luminis colorum et umbrae.. Sumptibus Vidae Eberhardi Klett, 1760. 
3. ↑ A. Beer: Bestimmung der Absorption des rothen Lichts in farbigen Flüssigkeiten; von Beer. In: Annalen der Physik. 86, 1852, S. 78–87 ([1]).