Winkelfrequenz

Physikalische Größe
Name	Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz, Winkelfrequenz
Größenart	Frequenz
Formelzeichen der Größe	ω, Ω
Abgeleitet von	Winkel
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI rad/s T −1
Siehe auch: Drehzahl

Unter der Winkel- oder Rotationsgeschwindigkeit ω versteht man bei einer Kreisbewegung (Rotation) den überstrichenen Winkel φ pro Zeit t. Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich etwas dreht. Diese Angabe ist im Unterschied zur Bahngeschwindigkeit unabhängig vom Radius. Die Winkelgeschwindigkeit ist proportional zur Drehzahl bzw. der Frequenz, eignet sich jedoch für physikalische Berechnungen besser.

Bei Schwingungen und Wellen liegt keine Kreisbewegung vor; Trotzdem wird ebenfalls häufig mit der Winkelgeschwindigkeit ω gerechnet. Der Grund liegt in einer gewissen Bequemlichkeit: Bei Berechnungen kommt sehr häufig das Produkt 2πf vor. Dieser Term wird mit ω abgekürzt.

Die Bahngeschwindigkeit eines Punktes auf dem sich drehenden Objekt ist durch seine Tangentialgeschwindigkeit bestimmt und hängt vom Abstand dieses Punktes von der Drehachse ab.

Mathematisch entspricht die Winkelgeschwindigkeit der Ableitung des Winkels nach der Zeit

$\omega = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}.$

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit vereinfacht sich der Ausdruck zu

$\omega = \frac{\varphi}{t}.$

Durch eine weitere Ableitung erhält man Winkelbeschleunigung.

Die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist rad/s. Um Verwechselungen mit der Drehzahl zu vermeiden, sollte die Hilfseinheit rad nicht weggelassen werden. Die Einheit Hertz (Hz) darf nicht verwendet werden.

Mathematische Beziehungen

Aus dem Zusammenhang "Winkelgeschwindigkeit = Winkel pro Zeit" folgt bei einer Kreisbewegung direkt

$\omega= \frac{2\pi}{T}$

und daraus die Umlaufzeit

$T= \frac{2\pi}{\omega}$

Die Bahngeschwindigkeit v bei einer Kreisbewegung mit Radius R ergibt sich als

$v = \omega \cdot R = \frac{2\pi R} {T}.$

Die Drehzahl (Umdrehungen pro Zeit) beträgt

$n = \frac{\omega}{2 \pi}$

Bei Schwingungen beschreibt die Frequenz f die Anzahl Zyklen pro Zeit. In jedem Zyklus durchläuft das Argument der sin-/cos-Funktion den Bereich 2π. Daraus ergibt sich die Kreisfrequenz

$\omega = 2 \pi \cdot f.$

Der Ausdruck für die Frequenz ist analog zum Ausdruck für die Drehzahl

$f = \frac{\omega}{2 \pi}.$

Darstellung als Vektor

Winkelgeschwindigkeit als Vektor

Eine Drehung kann durch den Betrag der Winkelgeschwindigkeit des sich drehenden Objekts und durch die Lage seiner Drehachse im Raum beschrieben werden. Der Raum wird durch ein dreidimensionales Bezugssystem aufgespannt, das durch die meist ortsfesten Achsen x, y, und z festgelegt ist. Daher lässt sich der Winkelgeschwindigkeit ein Vektor zuordnen, der in diesem Bezugssystem liegt. Das sich drehende Objekt liegt bei konstantem Betrag (der weiterhin der oben definierten Winkelgeschwindigkeit entspricht) und konstanter Richtung des Vektors während seiner Drehung stets in einer Ebene, zu der die Drehachse senkrecht steht. Der Vektor liegt also in Richtung der Drehachse. Zur Angabe der Orientierung des Vektors auf der Drehachse wird ein positives oder negatives Vorzeichen vor den Betrag des Vektors gesetzt. Dazu wird meistens die (Rechte-Hand-Regel) angewandt.

Die Bahngeschwindigkeit $\vec v$ ist gleich dem Kreuzprodukt aus der Winkelgeschwindigkeit $\vec\omega$ und dem Radius $\vec r$

$\vec v = \vec \omega \times \vec r$

Es ist zu beachten, dass die Winkelgeschwindigkeit ein Pseudovektor (axialer Vektor) ist, was sich in seinem Verhalten bei Spiegelungen manifestiert.

Beispiele

• Ein Körper, der sich pro Sekunde 1 Mal um seine Achse dreht, hat eine Drehzahl von n = 1 / s]. Die Winkelgeschwindigkeit beträgt dann ω = 2π  rad/s.
• Die Winkelgeschwindigkeit eines Rotors in einem Elektromotor, der mit 3.000 U/min dreht, beträgt 3.000·360°/60s = 50·360°/s = 18.000°/s oder 314,16 rad/s.
• Die Winkelgeschwindigkeit des Sekundenzeigers einer Uhr ist 360°/60s = 6°/s oder 0,1047 rad/s.
• Die Erde dreht sich im Mittel einmal in 23 Stunden, 56 Minuten und 4,1 Sekunden um ihre eigene Achse. Damit hat sie eine mittlere Winkelgeschwindigkeit von $\omega_\oplus = 2 \pi\,\mathrm{rad}/ 86\,164{,}1\,\mathrm{s}\approx 72{,}921 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Anwendungen

Die Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz tritt in zahlreichen Gleichungen in der Mechanik oder der Schwingungslehre auf (siehe beispielsweise Zentripetalkraft, Fadenpendel, Federpendel). Daneben ist sie eine wichtige Größe bei physikalischen Wellen und beim Wechselstrom. Ihr Vorteil gegenüber der Angabe der „reinen“ Frequenz f ist, dass in Formeln typischerweise ein Faktor 2π auftritt, der sich bei der Kreisfrequenz dann herauskürzt (siehe beim Beispiel Mathematisches Pendel), so dass sich die Formeln vereinfachen.