Zurückschneiden durch Rangbetrachtung

Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung)^[1] ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski^[2] vorgeschlagene Methode, wie man das Studieren einer Klasse auf das Studieren ihrer Teilmengen beschränken kann.^[3] Um dies zu erreichen definiert man für eine Klasse K ${\!}^\subseteq$ V = {x | ${\!}^\exist$ y(x${\!}^\in$y} die Teilklasse τ(K) = {x | x${\!}^\in$K; ${\!}^\forall$y${\!}^\in$K (ρ(x) ${\!}^\leq$ ρ(y))}, wenn ρ:V${\!}^\rightarrow$On die Rangfunktion ist.^[4] Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen.^[5] Wenn ξ = min{ρ(x) | x${\!}^\in$K} ist, dann ist τ(K) eine Menge, deren Rang höchstens ξ + 1 beträgt. Mittels Zurückschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Sätze beweisen:^[4]

• Für jede Relation R existiert eine vorgängerkleine Teilrelation S mit demselben Definitionsbereich.
• Für jede Relation R existiert eine Teilrelation S mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist.
• Wenn jede nicht leere Menge ein R-kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein R-kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel Φ gilt (${\!}^\forall$x(${\!}^\forall$yRxΦ(y) $\Rightarrow$ Φ(x))) $\Rightarrow$${\!}^\forall$zΦ(z) (Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes).
• Für jede Menge A und endlich viele Relationen R₁,...,R_k existiert eine für jedes i${\!}^\in${1,...,k} fast R_i-abgeschlossene Menge B ${\!}^\supseteq$ A.
• Für jede reflexive transitive symmetrische Relation R existiert eine Funktion F: ${\!}^{\forall}$x${\!}^{\forall}$y(F(x) = F(y) $\Leftrightarrow$ xRy).

Weblinks

• Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PostScript), Vorlesungsskript, 1994

Einzelnachweise

1. ↑ Auf engl.: Cutting Down Classes to Sets.
2. ↑ Tarski A., General principles of induction and resursion; The Notation of rank in axiomatic set theory and some of its applications, 1955, Bull. Amer. Math., 61, S. 442-443
3. ↑ Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3540204015, 2.6, 2.8
4. ↑ ^{a b} Levy A., Basic Set Theory, Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7, II.7
5. ↑ Zuckerman M., Sets and Transfinite Numbers, Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9, 6.1