Beobachtbarkeitsnormalform

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Ein Beobachter ist ein System, das unter Verwendung eines Modells aus bekannten Eingangsgrößen (z. B. Stellgrößen oder messbaren Störgrößen) und Messgrößen nicht messbare Größen (Zustände) rekonstruiert. Er wird einerseits in der Regelungstechnik beim Einsatz von Zustandsreglern zur Rekonstruktion nicht messbarer Zustandsgrößen, anderseits in der Messtechnik als Ersatz einer technisch oder wirtschaftlich nicht möglichen Messung eingesetzt.

Ein Beobachter bildet das System nach und beinhaltet einen Regler, der die messbaren Zustandsgrößen nachführt.

Prinzipdarstellung von Strecke und Beobachter

Eine durchgängige Theorie wurde ab 1964 von dem amerikanischen Regelungstechniker David Luenberger für lineare Systemmodelle und einer konstanten proportionalen Rückführung des Fehlers entwickelt.

Das Verfahren kann prinzipiell auf nichtlineare Modelle erweitert werden.^{[FOE:NL2 1]}

Beobachter werden heutzutage (2009) als Rechnerprogramme realisiert.

Luenberger-Beobachter

Blockdiagramm Luenberger-Beobachter :Fehlerbehebung: Der Eingang von L muss als $y \mathbf{-} \hat y$ gebildet werden.

Die Idee von Luenberger 1964 beruht auf einer Parallelschaltung vom Beobachter zum Regelstreckenmodell^{[LUN:RT2 1]}. Dabei wird die Differenz zwischen dem Messwert der Strecke und dem "Messwert" des Beobachters, also $\mathbf{y}(t) -\hat\mathbf{y}(t)$ auf das Modell zurückgeführt. Damit kann der Beobachter auf Störungen beziehungsweise eigene Ungenauigkeiten reagieren. Die grundsätzliche Gleichung des Beobachters ist:

$\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t)=\mathbf{A} \hat\mathbf{x}(t)+\mathbf{B} \mathbf{u}(t) + \mathbf{u}_B(t)$ mit $\hat{\mathbf{x}}(0)=\hat{\mathbf{x}}_0$

$\hat\mathbf{y}(t) =\mathbf{C} \hat\mathbf{x}(t)$

dabei bestimmt sich

$\mathbf{u}_B(t)=\mathbf{L}(\mathbf{y}(t)-\hat\mathbf{y}(t)) =\mathbf{L}\mathbf{C}(\mathbf{x}(t)-\hat\mathbf{x}(t))$

somit ergibt sich für den Beobachter

$\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t)= (\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}) \hat\mathbf{x}(t)+ \mathbf{B} \mathbf{u}(t) + \mathbf{L} \mathbf{y}(t)$

Für den Beobachtungsfehler $\mathbf{e}(t)=\mathbf{x}(t)-\hat\mathbf{x}(t)$ eines Luenberger-Beobachters gilt daher $\lim_{t \to \infty}||\mathbf{e}(t)||=\mathbf{0}$, wenn alle Eigenwerte der Matrix $(\mathbf{A}\ -\ \mathbf{L} \mathbf{C})$ negative Realteile besitzen.

Die Bestimmung der Rückführung erfolgt analog zum Reglerentwurf durch Polvorgabe indem folgende Ersetzungen vorgenommen werden^{[FOE:RT 1]}:

$\mathbf{A}^T$ statt $\mathbf{A}$

$\mathbf{C}^T$ statt $\mathbf{B}$

$\mathbf{L}^T$ statt $\mathbf{R}$

Das Beispielsystem hat die Eigenwerte e₁ = − 2 und e₂ = − 4. Damit der Beobachter dem System folgen kann müssen dessen Eigenwerte links von denen des Systems liegen. Diese Forderung ist für λ_1,2 = − 8 erfüllt. Die charakteristische Gleichung lautet in diesem Fall

$P(s)=64+16s+s^2\,$

und damit a_B0 = 64 und a_B1 = 16. Die Rückführmatrix ist damit

$\mathbf{l}^T=\begin{pmatrix} 56 & 10 \end{pmatrix})$.

Für den vollständigen Beobachter lautet die Differenzialgleichung

$\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t)= \begin{pmatrix} 0 & -64 \\ 1 & -16 \end{pmatrix} \hat{\mathbf{x}}+ \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} u(t) + \begin{pmatrix} 56 \\ 10 \end{pmatrix} y(t)$.

Definition vollständiger Beobachtbarkeit

Blockdiagramm Zustandsraumdarstellung

Die Zustandsraumdarstellung eines linearen Systems lautet

$\mathbf{\dot x} = \mathbf{Ax}+\mathbf{Bu}$

$\mathbf{y}=\mathbf{Cx}+\mathbf{Du}$.

Das System ist beobachtbar, wenn bei bekannter Steuerfunktion $\mathbf{u(t)}$ und bekannten Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{C}$ aus dem Verlauf des Ausgangsvektors $\mathbf{y(t)}$ über ein endliches Zeitintervall t₀ < = t < = t₁ der Anfangszustand $\mathbf{x(t_0)}$ eindeutig bestimmt werden kann.

Im folgenden wird als Beispiel ein System mit einem Eingang $u(t)\;$ und einem Ausgang $y(t)\;$ (SISO: Single Input, Single Output)

$\mathbf{\dot x}= \begin{pmatrix} -2 &amp;amp;amp; 0 \\ 4 &amp;amp;amp; -4 \end{pmatrix}\mathbf{x}+ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}u$

$y=\begin{pmatrix} 0 &amp;amp;amp; 1 \end{pmatrix} \mathbf{x}$

verwendet. Es beschreibt die Reihenschaltung von zwei PT1-Gliedern mit den Zeitkonstanten T₁ = 0,5 und T₂ = 0,25.

Definition strukturelle Beobachtbarkeit

Eine Klasse von Systemen $S\ ( S_A,\ S_B,\ S_C)$ heißt strukturell beobachtbar, wenn es mindestens ein System $(A, B, C) \in S$ gibt, das vollständig beobachtbar ist.

Um dies nachzuweisen gibt es Verfahren, deren Erläuterung hier zu weit führen würde. Dabei sind $S\ ( S_A,\ S_B,\ S_C)$ Matrizen, in denen alle Elemente ungleich 0 mit * markiert wurden, da alle Elemente gleich 0 über die strukturelle Beobachtbarkeit und strukturellen Steuerbarkeit entscheiden. Sie sind nicht mit der Beobachtbarkeitsmatrix zu verwechseln.

Nachweis vollständiger Beobachtbarkeit

Strukturelle Beobachtbarkeit ist eine notwendige Bedingung für die vollständige Steuerbarkeit. Jedoch werden zumeist nur die folgenden Beobachtbarkeitskriterien genutzt, um eine vollständige Beobachtbarkeit nachzuweisen.

Das Beobachtbarkeitskriterium nach Kalman ist relativ einfach zu bestimmen, jedoch kann man dabei die Beobachtbarkeit nicht auf einzelne Eigenvorgänge beziehungsweise Eigenwerte beziehen. Dies kann mit Hilfe des Gilbert- und des Hautuskriteriums geschehen.

Beobachtbarkeitskriterium von Kalman

Das System (A,C) ist genau dann nach Kalman vollständig beobachtbar^{[LUN:RT2 2]}, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix S_B den Rang n hat:

$\mathrm{Rang}\ S_B{ }={ }n$ mit

$S_B=\begin{pmatrix} C\\ CA\\ CA^2\\ ... \\ CA^{n-1} \end{pmatrix}$

Für das Beispielsystem gilt

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} -2 &amp;amp;amp; 0 \\ 4 &amp;amp;amp; -4 \end{pmatrix}$

und

$\mathbf{C}=\begin{pmatrix} 0 &amp;amp;amp; 1 \end{pmatrix}$

mit der Beobachtbarkeitsmatrix

$\mathbf{S_B}=\begin{pmatrix} 0 &amp;amp;amp; 1 \\ 4 &amp;amp;amp; -4 \end{pmatrix}$.

Es gilt $\mathrm{det} \mathbf{(S_B)}=-4$ und damit ist der Rang gleich 2. Das System ist vollständig beobachtbar.

Beobachtbarkeitskriterium von Gilbert

Wenn das Modell in kanonischer Normalform (Jordansche Normalform)

$\begin{align} \frac{d \mathbf{\tilde x}}{dt} &amp;amp;amp; = \mathrm{diag} (\lambda_i) \mathbf{\tilde x}+\mathbf{\tilde B}u, \ \mathbf{\tilde x} (0)=V^{-1} \mathbf{x}_0,\\ y &amp;amp;amp; = \mathbf{\tilde C} \mathbf{\tilde x}\\ \end{align}$

mit

$\begin{align} \mathbf{\tilde B} &amp;amp;amp; = \mathbf{V}^{-1}\mathbf{B},\\ \mathbf{\tilde C} &amp;amp;amp; = \mathbf{CV} \end{align}$

und $\mathbf{V}\!\,$ als Matrix der Eigenvektoren vorliegt, gilt das Kriterium von Gilbert^{[LUN:RT2 3]}:

Ein System $(\mathrm{diag} (\lambda_i),\mathbf{ \tilde C} )$, dessen Zustandsraummodell in kanonischer Normalform vorliegt, ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Matrix $\mathbf{\tilde C}$ keine Nullspalte besitzt und wenn die p Spalten $\mathbf{\tilde c}_{i}$, der Matrix $\mathbf{\tilde C}$, die zu den kanonischen Zustandsvariablen eines p-fachen Eigenwerts gehören, linear unabhängig sind.

Die kanonische Normalform des Beispielsystems lautet

$\begin{align} \frac{d \mathbf{\tilde x}}{dt} &amp;amp;amp; = \begin{pmatrix} -2 &amp;amp;amp; 0 \\ 0 &amp;amp;amp; -4 \end{pmatrix}\mathbf{\tilde x}+ \begin{pmatrix} 4{,}472 \\ -4 \end{pmatrix}u, \\ y &amp;amp;amp; = \begin{pmatrix}0{,}894 &amp;amp;amp; 1 \end{pmatrix}\mathbf{\tilde x}. \end{align}$

Die Matrix $\mathbf{\tilde C}=\begin{pmatrix}0{,}894 &amp;amp;amp; 1\end{pmatrix}$ besitzt nur Spalten (hier Elemente) ungleich 0. Der Test auf lineare Abhängigkeit entfällt hier, da das System einfache Eigenwerte hat.

Das System ist vollständig beobachtbar.

Beobachtbarkeitskriterium von Hautus

Das System (A,C) ist genau dann vollständig beobachtbar nach Hautus^{[LUN:RT2 4]}, wenn die Bedingung:

$\mathrm{Rang}\begin{pmatrix} \lambda I - A\\ C \end{pmatrix}=n$

für alle Eingenwerte λ_i(i = 1,2,...,n) der Matrix A erfüllt ist.

Die Systemmatrix des Beispiels hat die Eigenwerte λ₁ = − 2 und λ₂ = − 4. Für beide Eigenwerte ist die Bedingung

$\mathrm{Rang}\begin{pmatrix} \lambda_i+2 &amp;amp;amp; 0 \\ -4 &amp;amp;amp; \lambda_i+4 \\ 0 &amp;amp;amp; 1 \end{pmatrix}=2$

erfüllt. Das System ist also vollständig beobachtbar.

Beobachtbarkeit von Abtastsystemen

Die oben genannten Beziehungen gelten auch für Abtastsysteme, wenn $\mathbf{A}$ durch die Transitionsmatrix ersetzt wird. Nach ^{[ACK:ABT1 1]} kann die Überprüfung vereinfacht werden, indem zunächst die Bedingungen für das kontinuierliche System geprüft werden und dann die Zusatzbedingung

$e^{s_i T_{ab}} \ne e^{s_j T_{ab}}$ für $s_i \ne s_j$

erfüllt ist.

Beobachter-Normalform

Für ein System mit einem Eingang und einem Ausgang kann die Beobachter-Normalform unter anderem aus der zur Übertragungsfunktion $G(s)=\frac{b_0+b_1s+...+b_1s+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n}s^{n}}{a_0+a_1s+...+a_1s+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n}s^{n}}$ äquivalenten Differentialgleichung bestimmt werden.

$\begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\\ ...\\ \dot x_{n-1}\\ \dot x_n\\\end{bmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} 0&amp;amp;amp;0&amp;amp;amp; ... &amp;amp;amp; 0 &amp;amp;amp;-a_0\\ 1&amp;amp;amp;0&amp;amp;amp; ... &amp;amp;amp; 0 &amp;amp;amp;-a_1\\ 0&amp;amp;amp;1&amp;amp;amp; ... &amp;amp;amp; 0 &amp;amp;amp;-a_2\\ ...&amp;amp;amp; ... &amp;amp;amp;... &amp;amp;amp;... &amp;amp;amp;... \\ 0 &amp;amp;amp; ... &amp;amp;amp;... &amp;amp;amp; 1 &amp;amp;amp;-a_{n-1}\\ \end{pmatrix}}_{A_B} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \underbrace{ \begin{bmatrix} b_0-a_0b_n\\ b_1-a_1b_n\\ ...\\ b_{n-2}-a_{n-2}b_n\\ b_{n-1}-a_{n-1}b_n\\\end{bmatrix} }_{b_B} u$

$y= \begin{matrix} \underbrace{(0 \ 0 \ .\ .\ . \ 1)}\\ \textrm{}^{\rm c^T_B} \end{matrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \begin{matrix} \underbrace{b_n}\\ \textrm{}^{\rm d_B} \end{matrix} u$.

Das Beispielsystem hat die Übertragungsfunktion

$G(s)=\frac{8}{8+6s+s^2}$.

Daraus folgt mit b₀ = 8, a₀ = 8 und a₁ = 6

$A_B=\begin{pmatrix} 0 &amp;amp;amp; -8 \\ 1 &amp;amp;amp; -6 \end{pmatrix}$

$b_B=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$

${c^T}_B=\begin{pmatrix}0 &amp;amp;amp; 1\end{pmatrix}.$

Reduzierter Beobachter

Oft können einige Zustandsgrößen direkt gemessen werden. Damit ist es nicht notwendig, diese zu schätzen. Nach Umsortieren der Matrizenzeilen in gemessene $\mathbf{x_M}$ und beobachtete $\mathbf{x_B}$ Zustände lautet die Zustandsraumdarstellung des Eingrößensystems

$\begin{pmatrix} \mathbf{\dot x_M} \\ \mathbf{\dot x_B} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \mathbf{A_{11}} &amp;amp;amp; \mathbf{A_{12}} \\ \mathbf{A_{21}} &amp;amp;amp; \mathbf{A_{22}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{x_M} \\ \mathbf{x_B} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mathbf{b_M} \\ \mathbf{b_B} \end{pmatrix}u$

$\mathbf{y}=\begin{pmatrix}\mathbf{c^T_M} &amp;amp;amp; \mathbf{c^T_B} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{x_M} \\ \mathbf{x_B} \end{pmatrix}$

Die Zustandsgleichung des vollen Systems ist

$\mathbf{\dot x}=\mathbf{Ax}+\mathbf{b}u$

und die des reduzierten Systems ist

$\mathbf{\dot x_B}=\mathbf{A_{22}x_B}+\mathbf{A_{21}x_M}+\mathbf{b_B}u$

Die Messgleichung des vollen Systems ist

$\mathbf{y}=\mathbf{c^Tx}$

und die des reduzierten Systems ist

$\mathbf{\dot x_M}-\mathbf{A_{11}x_M}-\mathbf{b_M}u=\mathbf{A_{12}x_B}$

Die Substitution

$\mathbf{x} \leftarrow \mathbf{x_B}$

$\mathbf{A} \leftarrow \mathbf{A_{22}}$

$\mathbf{b}u \leftarrow \mathbf{A_{21}x_M}+\mathbf{b_B}u$

$y \leftarrow \mathbf{\dot x_M}-\mathbf{A_{11}x_B}-\mathbf{b_M}u$

$\mathbf{c^T} \leftarrow \mathbf{A_{12}}$

in die Gleichung des vollen Beobachters eingesetzt ergibt

$\mathbf{\dot \hat x_B}=(\mathbf{A_{22}}-\mathbf{lA_{12}})\mathbf{\hat x_B}+ (\mathbf{A_{21}}-\mathbf{lA_{11}})y+ (\mathbf{b_B}-\mathbf{lb_M})u+\mathbf{l}\dot y$

In dieser Darstellung stört noch die zeitliche Ableitung von y. Die Transformation

$\mathbf{\tilde x_B}=\mathbf{\hat x_B}-\mathbf{l}y$

ergibt die Gleichung

$\mathbf{\dot \tilde x_B}=(\mathbf{A_{22}}-\mathbf{lA_{12}})\mathbf{\tilde x_B}+ (\mathbf{A_{21}}-\mathbf{lA_{11}}+\mathbf{A_{22}l}-\mathbf{lA_{12}l})y+ (\mathbf{b_B}-\mathbf{lb_M})u$

und daraus den geschätzten Zustandsvektor

$\mathbf{\hat x_B}=\mathbf{\tilde x_B}+\mathbf{l}y$

Quellen

Jürgen Ackermann: Abtastregelung; 1. Analyse und Synthese. 2 Auflage. Springer, Heidelberg 1983. 

1. ↑ ohne Seitenzahl

Otto Föllinger: Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung. ISBN 3-7785-2336-8. 

1. ↑ Abschn. 13.7.2 / Formel (13.158)

Otto Föllinger: Nichtlineare Regelungen. 7., überarb. u. erw. Auflage. Bd.2 Harmonische Balance, Popow- und Kreiskriterium, Hyperstabilität, Synthese im Zustandsraum, Oldenbourg, München 1993. 

1. ↑ Abschnitt 7.5

Jan Lunze: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. 4. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-32335-X, S. 332 ff. 

1. ↑ S. 332 ff
2. ↑ S. 94
3. ↑ S. 95
4. ↑ S. 96

Siehe auch

• Steuerbarkeit
• Zustandsraumdarstellung
• Zustandsregelung
• Regelungstechnik

Literatur

• S.D.G. Cumming: Design of observers of reduced dynamics. Electronic Letters 5, 1961, S. 213-214. 
• D. G. Luenberger: Observing the state of a linear system. IEEE Transaction on Military Electronics, (8), 1964, S. 74-80. 
• R.E. Kalman and B. Bucy: New results in linear filtering and prediction theory. Trans ASME, Series D, Journal of Basic Engineering(ASME),83D, 1961, S. 98-108. 
• A. Gelb: Applied Optimal Estimation. The MIT press, Massachusetts Institute of Technology, Massachusetts 1974. 
• Otto Föllinger: Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung. ISBN 3-7785-2336-8.