Σ-Algebra

Eine σ-Algebra (auch σ-Mengenalgebra, Sigmakörper oder Borelscher Mengenkörper) ist ein Grundbegriff der Maßtheorie. Als solcher wird sie auch in der Stochastik häufig verwendet. Eine σ-Algebra ist eine mengentheoretische Struktur, sie bezeichnet ein Mengensystem auf einer festen Grundmenge, das die Grundmenge enthält und abgeschlossen ist bezüglich der Komplementbildung und abzählbaren Vereinigungen.

Definition

Als σ-Algebra bezeichnet man in der Mathematik ein Mengensystem (in der Stochastik das Ereignissystem) $\mathcal A$ mit $\mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega)$, also eine Menge $\mathcal A$ von Teilmengen der Grundmenge (in der Stochastik: Ergebnismenge) Ω, welche die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. $\Omega \in \mathcal A$   (Die Grundmenge Ω ist in $\mathcal A$ enthalten.)
2. $A \in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathsf c} \in \mathcal A\quad$   (Wenn $\mathcal A$ eine Teilmenge A von Ω enthält, dann auch deren Komplement $A^{\mathsf c}=\Omega\setminus A$.)
3. $A_1,A_2, \ldots \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \in \mathcal A$.   (Wenn für jede natürliche Zahl n die Menge A_n in $\mathcal A$ ist, so ist auch die abzählbare Vereinigung aller A_n in $\mathcal A$.)

Erläuterungen

• Aus den Bedingungen 1 und 2 folgt, dass $\mathcal A$ immer das Komplement von Ω, also die leere Menge enthält. Aufgrund der Eigenschaft 2 kann man in Eigenschaft 1 alternativ zu $\Omega \in \mathcal A$ auch $\emptyset \in \mathcal A$ fordern.
• Wählt man in Bedingung 3 die Mengen $A_m=\emptyset$ für alle m > n, so folgt, dass die endliche Vereinigungsmenge $A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$ in $\mathcal A$ enthalten ist.
• Ist $A_n\in\mathcal A$ für jede natürliche Zahl n, so folgt aus den De Morganschen Gesetzen und den Bedingungen 2 und 3, dass auch die Schnittmenge in $\mathcal A$ ist, weil

$\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n=\biggl(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n^{\mathsf c}\biggr)^{\!\!\mathsf c}.$

• Wählt man A_m = Ω für alle m > n, so folgt, dass der Durchschnitt $A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n$ von endlich vielen Mengen in $\mathcal A$ enthalten ist. Eine σ-Algebra ist also abgeschlossen gegenüber endlichen und abzählbar unendlichen Durchschnitten.
• Sind A und B aus $\mathcal A$, so ist auch $A\setminus B=A\cap B^{\mathsf c}$ in $\mathcal A$. Also ist $\mathcal A$ abgeschlossen gegen Mengendifferenz.
• Ferner ist jede σ-Algebra insbesondere auch ein Dynkin-System.

Beispiele

• Für jede beliebige Menge Ω ist $\{\emptyset,\Omega\}$ die kleinste und die Potenzmenge $\mathcal P(\Omega)$ die größte mögliche σ-Algebra.
• Für jede beliebige Menge Ω und Teilmenge $A \subseteq \Omega$ ist $\mathcal A = \{ \emptyset, A, A^{\mathsf c}, \Omega \}$ die kleinste σ-Algebra, die A enthält.
• Für jeden topologischen Raum Ω existiert die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen von Ω, die unter anderem alle offenen und abgeschlossenen Teilmengen von Ω enthält.
• Die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen der reellen Zahlen enthält unter anderem alle Intervalle.
• Über einer Grundmenge Ω ist das Mengensystem $\mathcal A=\{A\subset\Omega\mid A\ \mathrm{abz\ddot{a}hlbar\ oder}\ A^{\mathsf c}\ \mathrm{abz\ddot{a}hlbar}\}$ eine σ-Algebra. Ist hierbei Ω überabzählbar, so ist eine Funktion $f:\Omega\to\bar\mathbb R_+$ genau dann messbar, wenn sie auf dem Komplement einer abzählbaren Menge konstant ist.

Bedeutung

σ-Algebren bilden den Ausgangspunkt für die Definition des Maßraums und des Wahrscheinlichkeitsraums. Das Banach-Tarski-Paradoxon demonstriert, dass auf überabzählbaren Mengen die durch die Potenzmenge gebildete σ-Algebra als Grundlage für die Volumenbestimmung zu groß sein kann und die Betrachtung anderer σ-Algebren mathematisch notwendig ist. In der Theorie der stochastischen Prozesse, insbesondere in der stochastischen Finanzmathematik, wird die bis zu einem Zeitpunkt prinzipiell beobachtbare Information durch eine σ-Algebra beschrieben, was zum Begriff der Filtrierung, also einer zeitlich aufsteigenden Familie von σ-Algebren führt. Filtrierungen sind essentiell für die allgemeine Theorie der stochastischen Integration; Integranden (also finanzmathematische Handelsstrategien) dürfen zu einer Zeit t nur von den Informationen bis (ausschließlich) t abhängen; insbesondere dürfen sie nicht „in die Zukunft schauen“.

σ-Operator

1. Für eine beliebige Teilmenge M der Potenzmenge $\mathcal P(\Omega)$ ist der σ-Operator definiert als

$\sigma(M):=\bigcap_{ \mathcal A \in\mathcal F(M)}\!\!\mathcal A,$

wobei

$\mathcal F(M)=\{\mathcal A \subseteq\mathcal P(\Omega) \mid M\subseteq\mathcal A, \mathcal A\ \sigma\text{-Algebra}\}.$

Da die Schnittmenge einer Familie von σ-Algebren (über derselben Grundmenge Ω) wieder eine σ-Algebra ist, ist σ(M) somit die kleinste σ-Algebra, die M umfasst.

Der σ-Operator erfüllt die fundamentalen Eigenschaften eines Hüllenoperators:

• $M \subseteq \sigma(M)$, also der σ-Operator ist extensiv.
• Gilt $M\subseteq N$, so ist auch $\sigma(M)\subseteq\sigma(N)$ (Monotonie bzw. Isotonie).
• Es ist σ(σ(M)) = σ(M) (Idempotenz).

σ(M) wird als die von M erzeugte σ-Algebra bezeichnet, M heißt Erzeuger dieser σ-Algebra.

2. Sind $f_1, \ldots, f_n$ Funktionen von Ω in Messräume $(\Omega_1, \mathcal A_1), \ldots, (\Omega_n, \mathcal A_n)$, so ist

$\sigma(f_1, \ldots, f_n) = \sigma(\{f_i^{-1}(A) \mid 1 \le i \le n, \, A \in \mathcal A_i\})$

die kleinste σ-Algebra über Ω, bezüglich derer die f_i messbar sind. Sie wird als die von $f_1, \ldots, f_n$ erzeugte σ-Algebra bezeichnet. Entsprechendes gilt für beliebige Indexmengen I statt $\{1, \ldots, n\}$.

Spur-σ-Algebra

Für $E \subseteq \Omega$ wird das Mengensystem $\mathcal A|E:=\{ A \cap E \,|\, A \in \mathcal A \}$ als Spur von $\mathcal A$ in E bzw. Spur-σ-Algebra von $\mathcal A$ über E bezeichnet. Man kann zeigen, dass die Spur von $\mathcal A$ in E wieder eine σ-Algebra (aber mit der Grundmenge E) ist, was den Namen "Spur-σ-Algebra" rechtfertigt.

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. Walter de Gruyter, Berlin–New York 1992. ISBN 3-11-013626-0
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. ISBN 3-540-65420-8
• Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. ISBN 3-411-03102-6

Siehe auch

• Mengenlehre
• Halbring (Mengensystem)
• Ring (Mengensystem)
• Algebra (Mengensystem)
• Borelsche σ-Algebra
• Messbarer Raum