Bond implied

Grundidee der anleihespreadbasierten Insolvenzprognoseverfahren ist es, anhand der Zinsaufschläge (Credit Spread), die ein Unternehmen im Vergleich zu „risikolosen Verbindlichkeiten“ für seine kapitalmarktgehandelten Anleihen zahlen muss, auf die mit dieser Marktbewertung implizierte Ausfallwahrscheinlichkeit (PD) des Unternehmens zu schließen.^[1]

Einfaches Modell mit risikoneutraler Bewertung

Angenommen, die Anleihengläubiger erhalten zum Periodenende eine Zahlung in Höhe des Nominalbetrags der Anleihe, V_nom, zuzüglich einer vereinbarten (nominalen) Verzinsung i_nom*V_nom mit der Wahrscheinlichkeit (1-PD). Bei Eintritt eines Zahlungsausfalls (mit der Wahrscheinlichkeit PD) erhalten sie nur den Bruchteil (1-LGD) hiervon. Bei einer risikoneutralen Bewertung ergibt sich der Marktwert der Anleihe dann wie folgt:

Formel 1:$V_{markt} = \frac{(1-PD) \cdot V_{nom} \cdot (1+i_{nom}) + PD \cdot (1-LGD) \cdot V_{nom} \cdot (1+i_{nom})}{1+i_{risikolos}}$ ^[2]

mit V_markt … Marktwert einer endfälligen Anleihe zu Periodenbeginn,

V_nom … Nominalwert der Anleihe,

i_nom … nominaler Zinssatz,

i_Markt … Bruttomarktrendite (Verzinsung von V_markt, falls der Anleiheschuldner nicht ausfällt)

i_risikolos … risikoloser Zinssatz,

PD … Ausfallwahrscheinlichkeit (probability of default, PD),

LGD … (erwartete) Verlustquote bei Ausfall (loss given default, LGD)

Durch Umstellen ergibt sich:

Formel F2: $V_{markt} \cdot (1+i_{risikolos})=V_{nom} \cdot (1+i_{nom}) \cdot (1-PD+PD-LGD \cdot PD)$

Formel F3: $\frac{V_{markt} \cdot (1+i_{risikolos})}{V_{nom} \cdot (1+i_{nom})} = 1-LGD \cdot PD$ und somit

Formel F4: $PD = \frac{V_{nom} \cdot (1+i_{nom})-V_{markt} \cdot (1+i_{risikolos})}{LGD \cdot V_{nom} \cdot (1+i_{nom})}$

Für die (nicht direkt beobachtbare) Bruttomarktrendite der Anleihe, i_markt, gilt:

Formel F5: $1+i_{markt} \equiv \frac {V_{nom} \cdot (1+i_{nom})}{V_{markt}}$ umgestellt nach V_markt ergibt sich:

Formel F6: $V_{markt} = V_{nom} \cdot \frac {1+i_{nom}}{1+i_{markt}}$ eingesetzt in Formel F4 ergibt sich:

Formel F7: $PD = \frac {V_{nom} \cdot (1+i_{nom}) - V_{nom} \cdot \frac {1+i_{nom}}{1+i_{markt}} \cdot (1+i_{risikolos})}{LGD \cdot V_{nom} \cdot (1+i_{nom})}$

Die nominellen Größen V_nom und i_nom kürzen sich somit in Zähler und Nenner, so dass die PD-Schätzung nicht von den instrumentenspezifischen, vom Schuldner frei wählbaren nominellen Größen V_nom oder i_nom abhängig ist:

Formel F8: $PD = \frac {1- \frac {1+i_{risikolos}}{1+i_{markt}}}{LGD} = \frac {i_{markt} - i_{risikolos}}{LGD \cdot (1+i_{markt})}$

Für einen (additiven) Spread mit

Formel F9: $Spread \equiv i_{markt} - i_{risikolos}$ vereinfacht sich Formel F8 zu:

Formel F10: $PD = Spread \cdot \frac {1}{LGD \cdot (1+i_{markt})}$ oder umgekehrt

Formel F11: $Spread = PD \cdot LGD \cdot (1+i_{markt})$

Bei sehr niedrigen Erlösquoten, d.h. für LGD nahe 100%, entspricht der Spread ungefähr der Ausfallwahrscheinlichkeit PD.

Empirische Befunde zur Leistungsfähigkeit des einfachen Modells mit risikoneutraler Bewertung

Bei der Anwendung auf reale Daten zeigt sich jedoch, dass das Modell in dieser Form nicht für die Ermittlung von Ausfallwahrscheinlichkeiten geeignet ist. Die an den Anleihemärkten zu beobachteten Spreads (Risikoaufschläge) sind nicht nur bezüglich des Niveaus sondern auch bezüglich der zeitlichen Variabilität mit einer risikoneutralen Bewertung nicht vereinbar (und vermutlich auch nicht mit irgendeiner anderen rationalen Art der Bewertung). Besonders offenkundig sind diese Bewertungsanomalien bei „Investmentgradeanleihen“, d.h. Anleihen, die gemäß den Einschätzungen renommierter Ratingagenturen durch sehr geringe Ausfallwahrscheinlichkeiten gekennzeichnet sind. So stieg beispielsweise der durchschnittliche Spread von Anleihen, die über ein BBB-Rating gemäß Standard & Poor's (S&P) verfügten, von Dezember 1999 bis Dezember 2000 um 150 Basispunkte auf 300 Basispunkte, siehe die folgende Abbildung.

^[3]

Unterstellt man vereinfachend eine erwartete Erlösquote für Anleihen von rund 50%^[4], müsste – zumindest bei einer risikoneutralen Bewertung – die Ausfallwahrscheinlichkeit von mit BBB gerateten Anleihen innerhalb dieses Zeitraumes um 3% p.a. auf ca. 6% p.a. gestiegen sein. Tatsächlich liegen die realisierten Einjahresausfallraten von BBB-Anleihen wesentlich niedriger. Die höchste jemals realisierte Einjahresausfallrate des rund 25 Jahre umfassenden Beobachtungszeitraums 1981-2004 betrug lediglich 1,2% (und zwar im Jahr 2002, siehe die folgende Abbildung), im Durchschnitt der Jahre 1981-2004 betrug die entsprechende Ausfallquote sogar nur 0,29%. Ein Ausfallniveau von 6% wird von mit BBB gerateten Anleihen – zumindest im Durchschnitt der Jahre 1981-2004^[5] – erst hinsichtlich der kumulierten (!) 10-Jahresausfallraten erreicht!^[6] Analoge Befunde ergeben sich bei einem Vergleich der realisierten Ausfallraten für mit AA oder A gerateten Anleihen und deren Spreads, siehe die linken Grafiken in den oben und unten dargestellten Abbildungen.

^[7]

Nur ein kleiner Teil des unplausibel hohen Spreadniveaus von Anleihen kann auf die steuerliche Ungleichbehandlung von Zinseinnahmen aus Unternehmens- und Staatsanleihen auf US-Bundesstaatenebene zurückgeführt werden.^[8] Auch eher schwer quantifizierbare Faktoren - wie geringere Liquidität und regulatorische Investitionsbeschränkungen für bestimmte Gruppen potenzieller Anleihenkäufer^[9] - werden für die Erklärung von Spreads angeführt. Insgesamt wird aber geschätzt, dass nur ca. 25% der beobachtbaren Spreads bei Unternehmensanleihen auf erwartete Verluste zurückgeführt werden können – rund die Hälfte der beobachteten Spreads hingegen auf die Kompensation für „systematische Risiken“.^[10] So zeigte sich in empirischen Untersuchungen, dass die Spreadniveaus bei Anleihen im Zeitverlauf mit der Entwicklung des Zinsniveaus oder verschiedenen Aktienindizes korrelieren.^[11] Es ist allerdings kaum vorstellbar, dass es eine im Zeitverlauf stabile Transformationsvorschrift geben sollte, mittels der bei Kenntnis der aktuellen Ausprägungen dieser „systematischen Risikofaktoren“ und dem aktuellen Spread einer Anleihe auf die Ausfallwahrscheinlichkeit des zugehörigen Unternehmens geschlossen werden könnte.

Alternative Modellierungsansätze

Trotz der im Zeitverlauf (scheinbar) chaotischen Veränderungen der Anleihespreads, zeigen jedoch Studien, dass die durch die Höhe der Anleihespreads (welche um instrumentenspezifische Optionsrechte, beispielsweise vorzeitige Tilgungsrechte, zu bereinigen sind^[12]) zu einem gegebenen Zeitpunkt implizierte Reihung der Unternehmen eine sehr hohe (ordinale) Insolvenzprognosefähigkeit hat. Durch das Abbilden (mapping) der in ihrer absoluten Höhe nicht aussagekräftigen und im Zeitverlauf nicht vergleichbaren Spreads mittels einer dynamisch anzupassenden, und ggf. laufzeitenspezifischen^[13] Abbildungsvorschrift auf eine Agenturratingskala, können aus den Anleihespreads Ausfallprognosen mit einer zeitpunktübergreifend hohen Prognosegüte generiert werden, welche sogar die Prognosefähigkeit von Agenturratings übersteigen!^[14],^[15]

Quellen

1. ↑ Dieser Artikel basiert auf Bemmann (2007, Abschnitt 2.3.3.2)
2. ↑ Das dargestellte Modell entspricht im Wesentlichen dem Modell von Bluhm, Overbeck, Wagner (2003, S. 186f.) mit dem Unterschied, dass die Verlustquote, LGD, sich auf sämtliche Forderungen (inklusive Zinsen) zum Zeitpunkt des Ausfalls bezieht und nicht nur auf den Nominalbetrag der Anleihe.
3. ↑ siehe S&P (2003a, S. 14)
4. ↑ Eine Erlösquote von ca. 50% wird im Zeitraum 1982-2005 bei vorrangigen, unbesicherten Unternehmensanleihengerateter Unternehmen erreicht, siehe Moody's (2006, S. 12). Für eine ausführlichere Darstellung der in empirischen Untersuchungen ermittelten Einflussgrößen auf die bei Eintreten eines Ausfalls erwarteten Verluste (LGD) siehe Gupton, Stein (2005).
5. ↑ Strenggenommen handelt es sich hier um die durchschnittlichen 10-Jahresausfallraten der S&P-BBB-Kohorten 1981-1995, da für die nach 1995 gebildeten Kohorten noch keine Ausfallbeobachtungen über einen Zehnjahreszeitraum vorliegen (können).
6. ↑ Die durchschnittliche Einjahresausfallrate von 0,29% p.a. bezieht sich auf die Ausfallrate von Unternehmen, die zu Beginn des betreffenden Jahres über ein BBB-Rating von S&P verfügten. Da die Ratingeinstufung des Unternehmens im Zeitverlauf variieren kann, kann von den Einjahres- (bzw. Erstjahres-)Ausfallraten nicht direkt auf die kumulierten oder durchschnittlichen Mehrjahresausfallraten geschlossen werden. Diese können aber den historischen Ausfallstatistiken der Ratingagenturen entnommen werden.
7. ↑ Quelle: eigene Auswertungen basierend auf S&P (2004, S. 16ff.) und S&P (2005, S. 33ff.)
8. ↑ siehe Altman (1989, S. 921) und Hull, Predescu, White (2004, S. 2796ff.)
9. ↑ Siehe Basler Ausschuss (2000c, S. 54) für eine Liste mit 14 unterschiedlichen regulatorischen Vorschriften, durch die verschiedene Investorengruppen u.a. vom Erwerb unterschiedlich „riskanter“ Anleihen abgehalten oder eingeschränkt werden.
10. ↑ Siehe Elton et al (2001, S. 249 und S. 273). Die im Untersuchungszeitraum der Studie 1987-1996 beobachteten durchschnittlichen Spreads sind dabei sogar noch wesentlich niedriger als die in der obigen Abbildung für den Zeitraum 1999-2002 dargestellten Werte.
11. ↑ Siehe Turnbull (2005, S. 72ff. und die dort zitierte Literatur) oder Deutsche Bundesbank (2005, S. 141ff.). Weitere hier genannte makroökonomische Einflussfaktoren zur Erklärung bzw. Prognose von Anleihespreads sind beispielsweise die implizite Volatilität von Aktienmarktindizes oder Kennzahlen zur Beschreibung der Emissionstätigkeit.
12. ↑ Siehe Breger, Goldberg, Cheyette (2003, S. 2f.) und Cantor, Mann (2003, S. 25). Ferner werden identische erwartete Erlösquoten unterstellt.
13. ↑ Cantor, Mann (2003) berücksichtigen Laufzeitunterschiede, Breger, Goldberg, Cheyette (2003, S. 2f.) hingegen nicht.
14. ↑ Auf Basis einer identischen Stichprobe erzielt das “[bond] market implied rating” von Cantor, Mann (2003, S. 25) auf Einjahressicht eine um 7 Prozentpunkte bessere Accuracy Ratio als die Ratings von Moody's. Auf Dreijahressicht ist die Performance zumindest noch um 1,5 Prozentpunkte (PP) besser.
15. ↑ Die Unterlegenheit von Agenturratings gegenüber „anleihemarktimplizierten Ratings“ ist dabei aber möglicherweise überwiegend auf das Bestreben der Ratingagenturen zurückzuführen, ihre Ratingurteile künstlich zu stabilisieren. Werden die Agenturratings entsprechend ihres „Ausblick- oder Beobachtungsstatus (outlook, watchlist)“ modifiziert, so erhöht sich ihre Schätzgüte gemessen in Accuracy Ratio auf Dreijahressicht um ca. 6 Prozentpunkte, siehe Hamilton (2004, S. 12).

Literatur

• Altman, E. I. (1989): "Measuring Corporate Bond Mortality and Performance", in Journal of Finance, Bd. 44 (4), S. 909-922, 1989
• Basler Ausschuss: siehe Basler Ausschuss für Bankenaufsicht
• Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (Hrsg.) (2000b): "Range of Practice in Banks’ Internal Ratings Systems", Diskussionspapier, Bank für Internationalen Zahlungsausgleich (BIS), 01/2000
• Bemmann, M. (2007): "Entwicklung und Validierung eines stochastischen Simulationsmodells für die Prognose von Unternehmensinsolvenzen", zugelassene Dissertation, Technische Universität Dresden, TUDpress Verlag der Wissenschaften, Dresden, ISBN 978-3-940046-38-3, 2007
• Bluhm, C., Overbeck, L., Wagner, C. (2003): "An introduction to Credit Risk Modeling", Chapman and Hall/ CRC Financial Mathematics Series, Boca Raton, 2003
• Breger, L., Goldberg, L. R., Cheyette, O. (2003): "Market Implied Ratings", auch erschienen in Risk Magazine 07/2003, 2003
• Cantor, R., Mann, C. (2003): "Measuring the Performance of Corporate Bond Ratings", Special Comment, Report #77916, Moody’s Investor’s Service, 04/2003
• Deutsche Bundesbank (Hrsg.) (2005): "Finanzstabilitätsbericht 2005", 11/2005
• Elton, E. J., Gruber, M. J., Agrawal, D., Mann, C. (2001): "Explaining the Rate Spread on Corporate Bonds", in Journal of Finance, Bd. 46 (1), S. 247-277, 2001
• Gupton, G. M., Stein, R. M. (2005): "LossCalc V2: Dynamic Prediction of LGD Modeling Methodology", Moody’s KMV, Working Paper, 01/2005
• Hamilton, D. T. (2004): "Rating Transitions and Defaults Conditional on Watchlist, Outlook and Rating History", Moody’s Investors Service, Special Comment, Report # 81068, 02/2004
• Hull, J. C., Predescu, M., White, A (2004): "The Relationship between Credit Default Swap Spreads, Bond Yields, and Credit Rating Announcements", in Journal of Banking and Finance, Band 28 (11), S. 2789-2811, 2004
• Moody's (Hrsg.) (2006): "Default and Recovery Rates of Corporate Bond Issuers, 1920-2005", Moody’s Investors Service, 01/2006
• Standard and Poor's (Hrsg.) (2003a): "Ratings Performance 2002, Default, Transition, Recovery, and Spreads", Special Report 02/2003, The McGraw Hills Companies, 2003
• Standard and Poor's (Hrsg.) (2004): "Ratings Performance 2003", Special Report 03/2004, The McGraw Hills Companies, 2004
• Standard and Poor's (Hrsg.) (2005): "Annual Global Corporate Default Study: Corporate Defaults Poised to Rise in 2005", Global Fixed Income Research, The McGraw Hills Companies, 2005
• S&P: siehe Standard and Poor's
• Turnbull, S. M. (2005): "Unresolved Issues in Modeling Credit-Risky Assets", in Journal of Fixed Income, Bd. 15 (1), S. 68-87, 2005