- Bonferroniungleichungen
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Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.
Inhaltsverzeichnis
Benennung nach Bonferroni
Die Bonferroni-Ungleichungen werden nicht unbedingt zurecht nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.
Bonferroni war eigentlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, er benutzt sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen jedoch sicher schon vor ihm bekannt gewesen.
Die erste der folgende Ungleichungen wird häufiger nach George Boole als Boolesche Ungleichung bezeichnet; oft werden diese Ungleichung aber auch einfach ohne Namensbezug genannt.
Erste Ungleichung
Im Folgenden seien Ei beliebige Teilmengen (Ereignisse) in einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω. Dann gilt:
- .
Es gilt auch allgemeiner:
Diese Ungleichungen werden auch Boolesche Ungleichungen genannt.
Beweis
Zum Beweis der ersten Variante genügt eine vollständige Induktion nach n. Der Induktionsanfang ergibt sich unmittelbar aus
- .
Sei für den Induktionsschritt vorausgesetzt. Es folgt dann die Behauptung vermöge:
- .
Zweite Ungleichung
Im Folgenden seien wieder Ei beliebige Teilmengen (Ereignisse) in einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω. Ferner bezeichne das Komplement von Ei. Dann folgt:
Beweis
Zunächst beobachtet man, dass stets gilt. Der Beweis ergibt sich dann sofort, indem man in die erste Ungleichung statt Ei einsetzt und die komplementäre Wahrscheinlichkeit bildet.
Beispiele
- Sei Ω = {1,2,3,4,5,6} die Menge der Ergebnisse eines Würfelwurfs. Bezeichne E1 = {2,4,6} das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfen und E2 = {5,6} das Ereignis, wenigstens eine 5 zu würfen. Offensichtlich gilt und . Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln
- Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln
- Das Ergebnis liefert also keine brauchbare Aussage, da jede Wahrscheinlichkeit ohnehin größer oder gleich Null ist. Für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln folgt jedoch
Literatur
- Janos Galambos, Italo Simonelli: Bonferroni-type Inequalities with Applications, Springer-Verlag, 1996.
- Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes - Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type, Springer-Verlag, 2003.
- Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 7. Auflage, Vieweg Verlag, 2003.
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