Bänderstruktur

Die Bandstruktur beschreibt die Zustände von Elektronen und Löchern eines kristallinen Festkörpers im Impulsraum und damit die Beschaffenheit dessen elektronischer Struktur. Sie ist die Dispersionsrelation von Elektronen unter dem Einfluss des Festkörpergitterpotentials. Das Energiebändermodell eines Festkörpers ist im Wesentlichen die im Impulsraum dargestellte Bandstruktur.

Allgemeines

Schema eines direkten Bandübergangs im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm

Schema eines indirekten Bandübergangs im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm

Freie Elektronen der Masse m besitzen eine parabolische Dispersionsrelation, d. h. der Zusammenhang zwischen Wellenvektor $\vec k$ (der Betrag des Wellenvektors ist die Kreiswellenzahl k) und Energie E ist gegeben durch $E(\vec k) = ( \hbar \vec k)^2 / (2m)$. "Frei" bedeutet dabei, dass die Elektronen nicht mit anderen Elektronen wechselwirken und sich in keinem Potential befinden. Diese Situation wird also durch folgende Hamilton-Funktion beschrieben: $H = (\vec p) ^2 / (2m)$.

Bedingt durch den Einfluss des periodischen Gitterpotentials können Elektronen in einem Festkörper nicht mehr als freie Teilchen angesehen werden. Im einfachsten Fall wird das durch die abweichende effektive Masse m ^* berücksichtigt, was zu Parabelkurven verschiedener Steilheit führt. Die vollständige Dispersionsrelation der Kristallelektronen wird durch die Bandstruktur beschrieben: Diese stellt die Energie über dem Wellenvektor $\vec k$ (graphisch) dar. In der direkten Umgebung der Hochsymmetriepunkte wie dem Punkt Γ in der Abbildung unten ist die Parabelform der Kurven noch zu erkennen.

Ein Energieband, wie beispielsweise das Leitungs- oder Valenzband, ergibt sich durch den Energiebereich, welchen die zugehörige $E(\vec k)$-Kurve überdeckt (vgl. Abbildung): Für diese Energien gibt es erlaubte Zustände im Impulsraum. Der Bereich der Bandlücke (nicht bei Metallen) ist jedoch frei von Elektronen, da es dort keine erlaubten elektronischen Zustände gibt. Deshalb wird dieser Bereich auch oft als „Energielücke“ oder auch „verbotene Zone“ bezeichnet.

Die Bandstruktur zählt zu den zentralen Konzepten der Festkörperphysik. Viele grundlegende Eigenschaften eines Festkörpers können mit Hilfe der Bandstruktur verstanden werden, wie beispielsweise:

• elektrische Leitfähigkeit
• thermische Eigenschaften (Wärmekapazität und -leitfähigkeit)
• optische Eigenschaften (Absorptionsspektrum, Emissionsspektrum)
• Größen wie effektive Masse oder Zustandsdichte

Bandübergänge

Interbandübergang

Die Übergänge erfolgen von einem Band zu einem anderen, daher nennt man sie Interbandübergänge. Das Ereignis, das einen Interbandübergang auslöst, also die Absorption eines Photons ggf. plus der eines Phonons, nennt man auch Interbandanregung.

Direkter Bandübergang

Darunter versteht man Übergänge, die ohne Änderung des Impulsvektors $\vec k$ erfolgen, also im Diagramm senkrecht. Sie sind hoch wahrscheinlich, da keine zusätzliche Bedingung erfüllt sein muss neben der Zuführung der nötigen Sprungenergie, beispielsweise durch ein Photon.

Indirekter Bandübergang

Bei diesen Übergängen ändert sich zusätzlich der Impulsvektor $\vec k$, im Diagramm erfolgen sie also „schräg“. Um solche Übergänge auszulösen, muss also nicht nur die Energie zugeführt werden, sondern auch noch der zusätzliche Impuls, beispielsweise durch ein passendes Phonon, wie es bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts durch die thermische Gitterschwingung existieren kann. Durch diese Verknüpfung zweier Bedingungen sind die indirekten Übergänge in der Regel sehr viel weniger wahrscheinlich als die direkten, außerdem kommt eine Temperaturabhängigkeit hinzu.

Bei Halbleitern spricht man je nach dieser Natur ihrer Fundamentalabsorption von direkten oder indirekten Halbleitern.

Intrabandübergang

Es sind auch Übergänge innerhalb eines Bands möglich, sie werden entsprechend Intrabandübergänge genannt. Dabei ändert sich immer der Impulsvektor $\vec k$, meistens auch die Energie. Genau wie bei einem indirekten Interbandübergang ist zur Auslösung also die Zuführung sowohl der Differenzenergie als auch des zusätzlichen Impulses notwendig.

Darstellungsarten

Trägt man die Wellenfunktion der Elektronen in einem Energie-Wellenvektor-Diagramm auf, so erhält man in Richtung des Impulsraums abwechselnd erlaubte Energiebereiche (Energiebänder) und verbotene Energiebereiche (Energielücken). Ebenso können Überlappungen von Energiebändern auftreten (z. B. bei mehrwertigen Metallen).

Reduziertes Zonenschema von GaAs bei 300 K (vereinfacht)

Reduziertes Zonenschema von Silicium

Es gibt drei Varianten von Bandstrukturdiagrammen (auch als Zonenschemen oder Energie-Wellenvektor-Diagramme bezeichnet):

• Erweitertes Zonenschema: Darstellung der verschiedenen Bänder in verschiedenen Zonen
• Reduziertes Zonenschema: Darstellung aller Bänder in der 1. Brillouin-Zone
• Periodisches Zonenschema: Darstellung aller Bänder in jeder Zone

Bandstrukturen realer Festkörper

Bandstrukturen realer Kristalle können sehr komplex sein (Beispiel: GaAs und AlAs ^[1]). Üblicherweise stellt man die Dispersionsrelation in einem eindimensionalen Schema dar, wobei die Verbindungslinien zwischen verschiedenen charakteristischen Punkten der Brillouin-Zone einfach aneinandergehängt werden.

In jedem realen Kristall gibt es im Energiebereich der Bandlücke zusätzliche lokalisierte Zustände, die von Verunreinigungen, Gitterfehlern oder Oberflächeneffekten herrühren. Diese Zustände können systematisch erzeugt und für Anwendungen genutzt werden, z. B. beim Dotieren von Halbleitern oder in Farbzentren.

Literatur

• Ch. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. 14. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München 2005, ISBN 3-486-57723-9
• Gerhard Fasching: Werkstoffe für die Elektrotechnik. Mikrophysik, Struktur, Eigenschaften. 4. Auflage. Springer, Wien, ISBN 3211221336. 

Weblinks

• Anschauliche sowie ansprechende Erklärung zu Bandstrukturen und sonstigen Halbleitergrundlagen (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Bandstruktur von Gallium- und Aluminiumarsenid