Auslander-Reiten-Köcher

Der Auslander-Reiten-Köcher ist ein Translationsköcher, der zur kombinatorischen Beschreibung von abelschen Kategorien benutzt wird. Eingeführt wurde er ursprünglich um die Kategorie der Darstellungen eines Köchers zu beschreiben.

Definition für die Kategorie der Darstellungen eines Köchers

Sei k ein Körper und Q ein azyklischer Köcher. Sei C die Kategorie der Darstellungen des Köchers über dem Körper k. Dann sind die Punkte des Auslander-Reiten-Köchers Γ_C die Isomorphieklassen der unzerlegbaren Darstellungen in C. Zwischen zwei Punkten x und y sind die Pfeile wie folgt definiert: Aus x wähle einen Repräsentanten X und aus y einen Repräsentanten Y. Die Pfeile von X nach Y bilden eine Basis des Raumes der irreduziblen Abbildungen von X nach Y. Die Translation τ ist eine Abbildung einer Teilmenge der Punkte in Γ_C in die Menge der Punkte Γ_C. Für jeden Punkt z, dessen Elemente nicht projektiv sind, gibt es eine Auslander-Reiten-Sequenz der Form $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$, die exakt ist, mit $Z\in z$. Dann ist τ(z) = x.

Erläuterungen

Der Auslander-Reiten-Köcher liefert auf Grund des Satzes von Krull-Remak-Schmidt eine Beschreibung der Objekte in der Kategorie C.

Falls C darstellungsendlich ist, so lässt sich jede nicht-triviale Abbildung als Komposition endlich vieler irreduzibler Abbildungen zerlegen. Daher liefert in diesem Fall der Auslander-Reiten-Köcher auch eine Beschreibung der Morphismen.