Christoffel-Symbol

In der Differentialgeometrie sind die Christoffelsymbole, nach Elwin Bruno Christoffel (1829-1900), Hilfsgrößen zur Beschreibung der Ableitung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Ihre definitorische Eigenschaft besteht in der Forderung, dass die kovariante Ableitung des metrischen Tensors verschwindet. Der Fundamentalsatz der riemannschen Geometrie stellt sicher, dass sie durch diese Definition eindeutig bestimmt sind. In der modernen koordinatenfreien Beschreibung wird statt der Christoffelsymbole der Levi-Civita-Zusammenhang benutzt.

In der allgemeinen Relativitätstheorie ermöglichen die Christoffelsymbole die Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem Gravitationsfeld, auf die keine weiteren äußeren Kräfte einwirken. Es kann sich dabei sowohl um massive als auch masselose Teilchen handeln. Masselos wird als Synonym für Teilchen mit verschwindend kleiner Ruhemasse verwendet.

Koordinatentransformationen

Die Christoffelsymbole werden in diesem Abschnitt über Koordinatentransformationen hergeleitet. Ein anderer möglicher Zugang besteht über das Variationsprinzip.

Als Modell dient das kugelsymmetrische Gravitationsfeld der Erde. Es wird durch den metrischen Tensor $\left(g^{ik}\right)$ der allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben.

Da das Erdgravitationsfeld kugelsymmetrisch ist, ist es inhomogen und daher ortsabhängig. Orte und Zeitpunkte von Ereignissen werden im Erdgravitationsfeld durch Koordinaten $\left(x^\mu \right)$ identifiziert.

In der allgemeinen Relativitätstheorie stehen hierfür vier Koordinaten zur Verfügung, d. h. der Koordinatenvektor $\left( x^\mu \right)$ besteht wie in der speziellen Relativitätstheorie aus vier Komponenten

$\left(x^\mu \right) = \left( x^0,x^1,x^2,x^3 \right).$

Diese Koordinaten beschreiben das Gravitationsfeld der Erde vom Standort eines Beobachters aus, der dieses Gravitationsfeld beobachten kann. Seine Koordinaten werden im folgenden als allgemeine Koordinaten bezeichnet.

Meist findet man in der Literatur keine Angabe, welche Werte die allgemeinen Koordinaten annehmen. Die Literatur beschränkt sich auf die Angabe des metrischen Tensors des Gravitationsfeldes $\left(g_{\mu \nu}\right)$. Die Komponenten des Vektors $\left(x^\mu\right)$ werden oft mit t,r,Θ,Φ bezeichnet.

Die allgemeinen Koordinaten erfüllen immer die Beziehung ds² = g_μνdx^μdx^ν über welche die Metrik definiert ist.

Der hierzu passende flache Raum ist das Bezugssystem eines frei fallenden Aufzugs. In ihm werden Ereignisse in den Koordinaten $\left(\xi^\alpha \right) = \left(\xi^0,\xi^1,\xi^2,\xi^3 \right)$ beschrieben, und für Abstandsberechnungen wird der Metrische Tensor der speziellen Relativitätstheorie verwendet.

Die Koordinaten im flachen Raum werden als Minkowskikoordinaten bezeichnet.

Ein Ereignis wäre z. B. die geradlinig gleichförmige Bewegung eines Bleistiftes, den ein Passagier des Aufzugs angestoßen hat.

Der Bleistift hat zu jedem Zeitpunkt t die Minkowskikoordinaten

$\left(\xi^\mu \right) = \left(\xi^0,\xi^1,\xi^2,\xi^3 \right) = \left(ct,x,y,z \right).$

Zusammen mit dem metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie $\left(g_{ik}\right)$ kann man die Größe

$\mathrm ds^2= g_{ik}\mathrm d\xi^i\mathrm d\xi^k\$

bestimmen. ds² ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen, d. h. ds² = g_μνdx^μdx^ν gilt auch für die allgemeinen Koordinaten.

Die Christoffelsymbole werden durch Transformation der Bewegungsgleichung eines kräftefreien Teilchens im flachen Raum in allgemeine Koordinaten bestimmt. Die nachfolgenden Überlegungen beschränken sich zunächst auf die kräftefreie Bewegung eines massiven Teilchens (es hat eine nicht verschwindende Ruhemasse) mit der Eigenzeit dτ.

Als kräftefreie Bewegung wird eine Bewegung betrachtet, die nur unter dem Einfluss eines Gravitationsfeldes erfolgt, d. h. es wirken keine weiteren äußeren Kräfte.

Für die kräftefreie Bewegung eines solchen Teilchens gilt im flachen Raum die Gleichung

$\frac{\mathrm d^2 \xi^\alpha}{\mathrm d \tau^2} = 0.$

Dabei ist τ die Eigenzeit des Teilchens.

Begründung:

Ausgeschrieben lautet diese Gleichung

$\left(1-\frac{v^2}{c^2} \right) \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} (ct,x,y,z) = 0.$

Die Beschleunigung $\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}(x,y,z)$ ergibt Null nach der newtonschen Mechanik. Ein Teilchen, das sich kräftefrei bewegt, erfährt keine Beschleunigung.

Die Gleichung $\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}(ct) = 0$ folgt unmittelbar.

Damit ist die oben angegebene Bewegungsgleichung eines kräftefreien Teilchens im flachen Raum bewiesen.

Man betrachtet jetzt eine Transformation

$\left(x^\mu \right) \rightarrow \left(\xi^\alpha\right)$

von allgemeinen Koordinaten zu Minkowskikoordinaten. D. h. ξ^α ist eine Funktion von $\left(x^\mu \right)$.

Nach den Regeln der Differentialrechnung (vgl. auch den Abschnitt über Differentialgeometrie) gilt

$0 = \frac{\mathrm d^2 \xi^\alpha}{\mathrm d \tau^2}=\frac \mathrm d{\mathrm d \tau} \left( \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau} \right) = \frac{\partial \xi^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{\mathrm d^2 x^\mu}{\mathrm d \tau^2}+\frac{\partial^2 \xi^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}\frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm d \tau}\frac{\mathrm dx^\nu}{\mathrm d \tau}.$

Über die Indizes μ und ν wird summiert.

Nach Multiplikation mit $\frac{\partial x^\kappa}{\partial \xi^\alpha}$ ergibt sich hieraus die Bewegungsgleichung

$\frac{\mathrm d^2 x^\kappa}{\mathrm d \tau^2} = -\Gamma(\kappa,\mu, \nu)\cdot \frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau} \cdot \frac{\mathrm d x^\nu}{\mathrm d \tau}$

mit

$\Gamma(\kappa, \mu, \nu)=\frac{\partial x^\kappa}{\partial \xi^\alpha}\frac{\partial^2 \xi^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu}.$

$\Gamma(\kappa,\mu, \nu) = \Gamma^\kappa_{\mu \nu}$ beschreibt die Christoffelsymbole.¹

Die Christoffelsymbole gehen in der angegebenen Form in die Beschreibung der Bewegung eines freien Teilchens im Gravitationsfeld ein.

Für masselose Teilchen hat man keine Eigenzeit, so dass die Differentiation nach dτ nicht möglich ist. Man behilft sich durch die Einführung eines Parameters λ, mit dessen Hilfe die Bewegungen von Lichtteilchen (Photonen) beschrieben werden können. Die formale Gestalt der Differentialgleichungen bleibt erhalten, man muss nur τ durch λ ersetzen.

¹Bei der Herleitung nach dem Variationsprinzip erhält man

$\Gamma^\kappa_{\; \mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\kappa \rho} \left( \partial_\mu g_{\nu \rho}+\partial_\nu g_{\mu \rho}-\partial_\rho g_{\mu \nu} \right).$

Anwendung auf Felder

Die kovariante Ableitung eines Skalarfeldes $\varphi$ ist

$D_\mu \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}.$

Die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes $V^{\nu}\$ ist

$D_\mu V^\nu = \frac{\partial V^\nu}{\partial x^\mu} + \Gamma^\nu_{\lambda \mu} V^\lambda$

und bei einem Kovektorfeld, also einem (0,1)-Tensorfeld V_ν erhält man

$D_\mu V_\nu = \frac{\partial V_\nu}{\partial x^\mu} - \Gamma^\lambda_{\mu\nu} V_\lambda.$

Die kovariante Ableitung eines (2,0)-Tensorfeldes A^μν ist

$D_\lambda A^{\mu\nu} = \frac{\partial A^{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} + \Gamma^\mu_{\rho\lambda} A^{\rho\nu} + \Gamma^\nu_{\rho\lambda} A^{\mu\rho}.$

Bei einem (1,1)-Tensorfeld $A^\mu_\nu$ lautet sie

$D_\lambda A^\mu_\nu = \frac{\partial A^\mu_\nu}{\partial x^\lambda} + \Gamma^\mu_{\rho\lambda} A^\rho_\nu - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} A^\mu_\rho$

und für ein (0,2)-Tensorfeld $A_{\mu\nu}\$ erhält man

$D_\lambda A_{\mu\nu} = \frac{\partial A_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} - \Gamma^\rho_{\mu\lambda} A_{\rho\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} A_{\mu\rho}.$