Coth

Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.

Schreibweisen

Tangens Hyperbolicus:	$y = \operatorname{tanh}(x)$
Kotangens Hyperbolicus:	$y = \operatorname{coth}(x)$

Definitionen

$\operatorname{tanh}x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=1-\frac{2}{e^{2x}+1}=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$

$\operatorname{coth} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} = \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} = 1+\frac{2}{e^{2x}-1}= \frac{\cosh(x)} {\sinh(x)}$

Eigenschaften

Graph der Funktion tanh(x)

Graph der Funktion coth(x)

	Tangens Hyperbolicus	Kotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich	$- \infty < x < + \infty$	$- \infty < x < + \infty$ ; $x \ne 0$
Wertebereich	$-1<f\left(x\right)<1$	$-\infty<f\left(x\right)<-1$ ; $1<f\left(x\right)<+\infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	x < 0 streng monoton fallend x > 0 streng monoton fallend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung	Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten	$x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1$ $x\to \ -\infty\colon f\left(x\right)\to \ -1$	$x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1$ $x\to \ - \infty\colon f\left(x\right)\to \ -1$
Nullstellen	x = 0	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	x = 0
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$\left(0,0\right)$	keine

Spezielle Werte

$\operatorname{tanh}(0)=0$

$\operatorname{tanh}(\ln\phi )=\frac15 \sqrt 5$

mit dem goldenen Schnitt $\!\ \phi$.

Der Kotangens Hyperbolicus hat einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein u, sodass $\operatorname{coth}(u)=u$. Er liegt bei u ^* = 1,19967874 (Folge A085984 in OEIS)

Umkehrfunktionen

Der Tangens Hyperbolicus ist eine Bijektion $\tanh:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1)$. Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens Hyperbolicus und ist für Zahlen x aus dem Intervall ( − 1,1) definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an. Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

${\rm artanh}\,x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$

Für die Umkehrung des Kotangens Hyperbolicus gilt:

$\operatorname{arcoth}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

Ableitungen

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh x = 1-\tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}= \operatorname{sech}^2 x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth x = 1-\coth^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x}=-\operatorname{csch}^2 x$

Die n-te Ableitung ist gegeben durch

$\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n}\tanh z=\frac{2^{n+1}e^{2z}}{(1+e^{2z})^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} E(n,k)\cdot (-1)^k\cdot e^{2kz}$

Additionstheorem

Es gilt das Additionstheorem

$\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh \alpha+ \tanh \beta}{1+\tanh\alpha\tanh\beta}$

Integrale

$\int \tanh(x)\,\mathrm{d}x = \ln ( \cosh x ) + C$

$\int \coth(x)\,\mathrm{d}x = \ln ( \sinh x ) + C$

Weitere Darstellungen

Reihenentwicklungen

$\operatorname{tanh}(x) = \sgn(x) \left[1+ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k2e^{-2k|x|}\right]$

$\operatorname{coth}(x) = \frac{1}{x}+ \sum_{k=1}^\infty \frac{2x} {k^2\pi^2+x^2}$

Der Anfang der Taylorreihe des Tangens Hyperbolicus lautet:

$\tanh (x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{2n}(2^{2n} -1)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1} = x- \frac13 x^3 + \frac {2}{15} x^5+\cdots$

Die B_n sind die Bernoulli-Zahlen. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π / 2.

Kettenbruchdarstellung

Gauß zeigte folgende Formel:

$\tanh x=\frac1{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{x^2}{5+\ldots}}}$

Differentialgleichung

tanh löst folgende Differentialgleichung:

$\frac12 f^{\prime\prime}=f^3-f$

mit f(0) = 0 und $f^\prime (\infty )=0$

Komplexe Argumente

$\operatorname{tanh}(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sin(2y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)}$

$\operatorname{tanh} (\mathrm{i} \!\cdot\! y) = \mathrm{i} \cdot \tan(y)$

$\operatorname{coth}(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{-\sin(2y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)}$

$\operatorname{coth} (\mathrm{i} \!\cdot\! y) = -\mathrm{i} \cdot \cot(y)$

Siehe auch

• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hyperbolic Tangent und Hyperbolic Cotangent auf MathWorld

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus