DB-Rechner

DB-Rechner
Dieser Artikel erläutert die Hilfsmaßeinheiten Bel (bzw. Dezibel), für Informationen über in Dezibel angegebene Größen und Beispiele dazu siehe auch Schalldruckpegel, Schallleistungspegel, Spannungspegel, Pegel, Maß (logarithmische Größe)
Einheit
Norm Hilfsmaßeinheit
Einheitenname Bel
Einheitenzeichen B
Beschriebene Größe(n) Pegel, Maße
Größensymbol(e) L \, (Pegel),
A, \, G \, (Maße), u. a.
Dimensionsname 1 (dimensionslos)
In SI-Einheiten
Benannt nach Alexander Graham Bell
Siehe auch: Neper (Hilfsmaßeinheit)

Das Bel (B) ist eine nach Alexander Graham Bell benannte Hilfsmaßeinheit zur Kennzeichnung von Pegeln und Maßen. Diese logarithmischen Größen finden ihre Anwendung unter anderem in der Akustik (z. B. Schalldruckpegel, Schalldämm-Maß), der Hochfrequenztechnik als Teil der Nachrichtentechnik (z. B. SNR), der Tontechnik und der Automatisierungstechnik. In der Praxis ist die Verwendung des zehnten Teils eines Bels (Dezibel, Einheitenzeichen dB) üblich.

Inhaltsverzeichnis

Definition von Bel und Dezibel

Umrechnung: Beispiele
P_2/P_1\; \tilde x_2/\tilde x_1 L\;
10000 100 40 dB
100 10 20 dB
10 ≈ 3,16 10 dB
≈ 4 ≈ 2 6 dB
≈ 2 ≈ 1,41 3 dB
≈ 1,26 ≈ 1,12 1 dB
1 1 0 dB
≈ 0,79 ≈ 0,89 -1 dB
≈ 0,5 ≈ 0,71 -3 dB
≈ 0,25 ≈ 0,5 -6 dB
0,1 ≈ 0,32 -10 dB
0,01 0,1 -20 dB
0,0001 0,01 -40 dB

Das Bel dient zur Kennzeichnung des dekadischen Logarithmus des Verhältnisses zweier gleichartiger Leistungs- bzw. Energiegrößen P1 und P2:

L = \left(\lg \frac{P_2}{P_1} \,\right)\,\mathrm{B} = 10 \left(\lg \frac{P_2}{P_1} \right)\,\mathrm{dB} .

Für L ergibt sich z. B. der Wert ein Bel (B), wenn das Leistungsverhältnis P2 / P1 = 10 ist. Das gebräuchlichere Dezibel (dB) wird mit Hilfe des Einheitenvorsatzes „Dezi“ (Symbol „d“) gebildet:

1\,\mathrm{dB} = \frac{1}{10}\,\mathrm{B} .

In linearen Systemen verhalten sich die Leistungs- bzw. Energiegrößen P proportional zu den Quadraten der einwirkenden Effektivwerte von Feldgrößen x (z. B. elektrische Spannung, Schalldruck), d. h.

P \sim \tilde x^2 .

Soll von Feldgrößen ausgehend ein Pegel oder Maß berechnet werden, steht dadurch das Verhältnis der Quadrate dieser Größen und es gilt

L = 10 \lg \frac{P_2}{P_1} \,\mathrm{dB}= 10 \lg \frac{\tilde x_2^2}{\tilde x_1^2} \,\mathrm{dB}= 20 \lg \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1} \,\mathrm{dB} .

Zu beachten ist dabei, dass das Argument der lg-Funktion eine dimensionslose Größe sein muss, d. h. die Größen P1 und P2 bzw. x1 und x2 stets die gleiche Einheit haben müssen. Ein Beispiel für eine so definierte Größe ist der Schalldruckpegel.

Umrechnung in die Einheit Neper

Dezibel und Neper stehen in einem festen linearen Verhältnis zueinander:

L = 20 \lg \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1} \,\mathrm{dB} = \ln \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1} \,\mathrm{Np} \, .

Durch Umstellen nach dB und Umrechnung der Logarithmenbasis folgt daraus:

1\,\mathrm{dB} = \frac{\ln \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1}\,\mathrm{Np}}{\frac{20}{\ln 10} \ln \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1}} = \frac{\ln 10}{20}\,\mathrm{Np} \approx \frac{1}{8{,}686}\,\mathrm{Np} \approx 0{,}115\,\mathrm{Np} .

Dezibel und Neper, Historische Entwicklung

Obwohl nicht das Bel bzw. Dezibel, sondern das Neper die zum Internationalen Einheitensystem SI kohärente Hilfsmaßeinheit[1] für logarithmische Verhältnisgrößen ist, wird in der Praxis überwiegend das Dezibel verwendet. Das hat zum einen historische Gründe:[2] In den USA war bis 1923 als Einheit für das Dämpfungsmaß einer Fernsprechverbindung die Hilfsmaßeinheit „Mile Standard Cable“ (m.s.c.) in Verwendung. Diese Einheit entspricht dem Dämpfungsmaß eines bestimmten Kabeltyps („19 gauge“) bei einer Länge von einer englischen Meile und einer Frequenz von 800 Hz und gleichzeitig der mittleren subjektiven Wahrnehmbarkeitsschwelle beim Vergleich von zwei Lautstärken. Letzteres trifft ebenfalls für das Dezibel zu. Deshalb ergaben sich bei Verwendung des Dezibels in etwa die gleichen Zahlenwerte wie bei Verwendung von „Mile Standard Cable“ (1 m.s.c. = 0,9221 dB). Ein weiterer Grund für die bevorzugte Verwendung des Dezibels ist, dass sich einfacher fassbare Zahlenwerte ergeben, so entspricht z. B. die Verdoppelung der Leistung einer Änderung von etwa 3 dB, die Verzehnfachung einer Änderung von 10 dB.

Verwendung mit anderen Maßeinheiten, Anhängsel

So wie jede andere Maßeinheit kann das Bel bzw. Dezibel zusammen mit anderen Maßeinheiten verwendet werden, wenn damit eine Größe beschrieben wird, bei der ein Pegel oder Maß durch Multiplikation oder Division mit einer anderen Größe verknüpft wird. Beispiele dafür sind das Dämpfungsmaß einer Leitung in Dezibel pro Meter (dB/m) oder der bezogene Schallleistungspegel einer ausgedehnten Schallquelle in Dezibel pro Quadratmeter (dB/m2).

Obwohl es nach den für Größen geltenden Rechenregeln nicht korrekt ist, Anhängsel an eine Einheit anzubringen, um Informationen über die Art der betrachteten Größe mitzuteilen, sind solche Anhängsel beim Dezibel z. B. in den Empfehlungen der ITU[3][4] noch gebräuchlich. Wegen der Eindeutigkeit und der möglichen Verwechslungsgefahr mit Einheitenprodukten (z. B. dB•m statt dBm) sind nach den Festlegungen in DIN, IEC und ISO-Normen diese Informationen stets mit der Größe und nicht mit der Einheit zu verknüpfen. Die geläufigsten Beispiele für dB-Anhängsel sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Einheit mit Anhängsel (ITU) Bedeutung empfohlene Schreibweisen (DIN, IEC, ISO)
Hinweis an der Größe Hinweis am Einheitenzeichen
dBu Spannungspegel mit der Bezugsgröße \sqrt{600 \, \Omega \cdot 0{,}001\,\mathrm W}\, \approx 0{,}7746\,\mathrm V L_u (\mathrm{re \, \, 0{,}775\,V}) = \dots\,\mathrm{dB} L_u=\dots\,\mathrm{dB\,(0{,}775\,V)}
dBV Spannungspegel mit der Bezugsgröße 1 V L_V (\mathrm{re \, \, 1\,V}) = \dots\,\mathrm{dB} L_V=\dots\,\mathrm{dB\,(V)}
dBA A-bewerteter Schalldruckpegel L_{pA} (\mathrm{re \, \, 20\,\mu Pa})= \dots\,\mathrm{dB} L_p=\dots\,\mathrm{dB\,(A)}
A-bewerteter Schallleistungspegel L_{WA} (\mathrm{re \, \, 1\,pW})= \dots\,\mathrm{dB} L_W=\dots\,\mathrm{dB\,(A)}
dBm Leistungspegel mit der Bezugsgröße 1 mW L_P (\mathrm{re \, \, 1\,mW}) = \dots\,\mathrm{dB} L_P=\dots\,\mathrm{dB\,(1\,mW)}
dBW Leistungspegel mit der Bezugsgröße 1 W L_P (\mathrm{re \, \, 1\,W}) = \dots\,\mathrm{dB} L_P=\dots\,\mathrm{dB\,(1\,W)}
dBµ Pegel der elektrischen Feldstärke mit der Bezugsgröße 1 µV/m L_E (\mathrm{re \, \, 1\,\mu V/m}) = \dots\,\mathrm{dB} L_E=\dots\,\mathrm{dB\,(1\,\mu V/m)}

Darüber hinaus existiert noch eine sehr große Anzahl weiterer Anhängsel, die in verschiedenen Fachgebieten uneinheitlich verwendet werden. Für viele Pegelgrößen existieren genormte Bezugswerte.

Anwendung

Beispiel für lineare Darstellung: Übertragungsfaktor uo / ui eines Butterworthfilters 2. Ordnung
Beispiel für Darstellung mit logarithmischer Größe: Übertragungsmaß A0 eines Butterworthfilters 2. Ordnung

Die Angabe von Pegeln, Pegeldifferenzen, Pegelabständen und Maßen in Dezibel spielt in verschiedenen Fachgebieten eine Rolle. Vor allem in der Akustik und der Tontechnik, der Nachrichtentechnik und der Hochfrequenztechnik sowie in der Automatisierungstechnik haben die verwendeten Größen einen sehr großen Wertebereich. Die Angabe als logarithmische Verhältnisgröße in Dezibel erlaubt daher oft eine schnellere und anschaulichere Interpretation von Größen, da damit die betragsmäßigen Wertebereiche durch den Logarithmus auf wenige Dezimalstellen reduziert werden. Außerdem vereinfachen sich bestimmte Rechenoperationen, die in der Praxis oft vorkommen. So wird aus der Multiplikation von Verhältnisgrößen eine Addition, aus der Division eine Subtraktion.

Weiterhin entspricht die Angabe von Pegeln physikalischer Größen in Dezibel eher dem menschlichen Sinneseindruck, da dieser in etwa logarithmisch zur Intensität des physikalischen Reizes verläuft (Weber-Fechner-Gesetz). Das hat vor allem für die Akustik Bedeutung, wo auch die Maßeinheit der psychoakustischen Größe Lautstärke, das Phon durch eine Verknüpfung mit dem physikalischen Schalldruckpegel in Dezibel definiert ist.

Literatur

  • Jürgen H. Maue, Heinz Hoffmann, Arndt von Lüpke: 0 Dezibel plus 0 Dezibel gleich 3 Dezibel. Erich Schmidt Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-503-07470-8. 

Einzelnachweise

  1. ↑ DIN IEC 60027-­3:2002 Formelzeichen für die Elektrotechnik Teil 3: Logarithmische und verwandte Größen und ihre Einheiten
  2. ↑ DIN 5493-2:1994-9 Logarithmische Größen und Einheiten: Logarithmierte Größenverhältnisse – Maße, Pegel in Neper und Dezibel
  3. ↑ ITU-T Recommendation B.12 (11/1988) Use of the decibel and the neper in telecommunications
  4. ↑ ITU-R Recommendation V.574-4 (05/00) Use of the decibel and the neper in telecommunications

Weblinks


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