Detailliertes Gleichgewicht

Der Begriff detailliertes Gleichgewicht (engl. detailed balance) bezeichnet eine Eigenschaft von homogenen Markov-Ketten. Sie bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Zustands i im Gleichgewicht (W_i), multipliziert mit der Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand i in Zustand j (P_ij), gleich der Wahrscheinlichkeit eines Zustands j (W_j) im Gleichgewicht multipliziert mit der Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand j in Zustand i (P_ji) ist:

$W_{i} P_{ij} = W_{j} P_{ji}\,.$

Für stationäre Markow-Ketten $(X_z)_{z \in \mathbb Z}$ mit Übergangsmatrix P_ij ist diese Eigenschaft äquivalent zur zeitlichen Reversibilität, das heißt für den zeitumgekehrten Prozess $\tilde X_z := X_{-z}$ gilt für alle $t_1, \dots, t_n \in \mathbb Z$

$(X_{t_1}, \dots, X_{t_n}) \sim (X_{-t_1}, \dots, X_{-t_n})\,.$

Diese Prozesse lassen sich dazu nutzen, um Systeme aus geeigneten Anfangszuständen W_Start in das kanonische Gleichgewicht zu bringen:

$W_{\rm Start} \, \lim_{k \to \infty} P^k = W_{\rm Gleichgewicht}$

Reversible Markow-Prozesse erfüllen die Voraussetzung, Zustände in das kanonische Gleichgewicht zu bringen, sind jedoch keine notwendige Voraussetzung hierfür.

Der Metropolisalgorithmus ist ein Beispiel für einen stochastischen Prozess, der die Eigenschaft der Detailed Balance erfüllt. Er wird in Monte-Carlo-Simulationen dazu genutzt, Zustände eines Systems aus vorhergehenden Zuständen gemäß einer Übergangswahrscheinlichkeit zu erzeugen.

Siehe auch

• Gibbs-Sampling

Literatur

• G. Bhanot, The Metropolis algoritm, Rept. Prog. Phys. 51 (1988) 429