Dreibandmatrix

In der linearen Algebra ist eine Tridiagonalmatrix (auch: Dreibandmatrix) eine quadratische Matrix $T\in\mathbb{C}^{n\times n}$, die nur in der Diagonalen und in den beiden ersten Nebendiagonalen Einträge ungleich Null enthält, es gilt also t_ij = 0 für alle | i − j | > 1. Eine Tridiagonalmatrix heißt unreduziert oder irreduzibel, wenn die Elemente in den Nebendiagonalen alle ungleich Null sind. (daher :$t_{ij} \not= 0$ für alle | i − j | = 1).

$T = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & 0 & \dots & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{3,2} & \ddots & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n}\\ 0 & \dots & 0 & a_{n,n-1} & a_{n,n} \end{pmatrix}$

Tridiagonalmatrizen treten in der Numerik recht häufig auf, z.B. bei der Berechnung von kubischen Splines, bei der Diskretisierung der zweiten Ableitung auf eindimensionalen Gebieten (insbesondere bei Sturm-Liouville-Problemen), bei der Berechnung von orthogonalen Polynomen und Funktionensystemen (etwa bei der Berechnung von Besselfunktionen) und bei Krylow-Unterraum-Verfahren basierend auf Dreitermrekursionen. Diese Matrizen sind im Regelfall unreduziert.

Eigenschaften

Eine Tridiagonalmatrix ist sowohl ein Spezialfall einer Bandmatrix als auch einer Hessenbergmatrix. Eine diagonaldominante Tridiagonalmatrix ist immer regulär.

Lineare Gleichungssysteme mit einer Tridiagonalmatrix lassen sich mit einem Aufwand von O(n) effizient lösen. Entweder mit dem sehr schnellen Thomas-Algorithmus oder bei Stabilitätsproblemen mit Hilfe des Gauß-Verfahrens mit Pivotisierung. Gleichungssysteme mit Tridiagonalmatrizen können also selbst bei vergleichsweise großer Dimension mittels eines direkten Lösers berechnet werden.

Literatur

• Gerhard Opfer: Numerische Mathematik für Anfänger. Eine Einführung für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker. 4. Aufl. Vieweg Verlag, Braunschweig 2002 ISBN 3-528-37265-6