- Eineindeutige Zuordnung
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Bijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig auf oder eineindeutig auf) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.
Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente der Zielmenge abbildet (sie also injektiv ist), und wenn zusätzlich jedes Element der Zielmenge als Funktionswert auftritt (sie also surjektiv ist). Eine bijektive Funktion hat daher immer eine Umkehrfunktion, ist also invertierbar.
Eine bijektive Funktion nennt man auch eine Bijektion. Eine Bijektion einer endlichen Menge auf sich selbst heißt auch Permutation.
Für endliche Mengen haben die Definitionsmenge, die Bildmenge und die Zielmenge einer Bijektion dieselbe Anzahl von Elementen. Umgekehrt ist eine Funktion zwischen endlichen Mengen bijektiv, wenn diese drei Zahlen übereinstimmen.
Für unendliche Mengen definiert man die Mächtigkeit als Verallgemeinerung der Elementanzahl mit Hilfe des Begriffes der Bijektion.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei f eine Funktion, die von X nach Y abbildet, also . f ist bijektiv, wenn für alle genau ein mit existiert.
Mit anderen Worten kann man dies so ausdrücken: f ist bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.
Grafische Veranschaulichungen
Beispiele und Gegenbeispiele
Die Menge der reellen Zahlen wird hier mit bezeichnet, die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit .
- Die Funktion ist bijektiv mit der Umkehrfunktion .
- Ebenso ist für die Funktion bijektiv mit der Umkehrfunktion .
- Unmathematisches Beispiel: Ordnet man jedem (monogam) verheirateten Menschen seinen Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zu, ist dies eine Bijektion der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst. Dies ist sogar ein Beispiel für eine selbstinverse Abbildung.
- Die folgenden vier Quadratfunktionen unterscheiden sich nur in ihren Definitions- bzw. Wertemengen:
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- Mit diesen Definitionen ist
- f1 nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
- f2 injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
- f3 nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv
- f4 injektiv, surjektiv, bijektiv
Eigenschaften
- Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und ist eine Funktion, dann gilt:
Ist f injektiv, dann ist f bereits bijektiv.
Ist f surjektiv, dann ist f bereits bijektiv.
- Insbesondere gilt also für Funktionen von einer endlichen Menge A in sich selbst:
f ist injektiv ⇔ f ist surjektiv ⇔ f ist bijektiv.
Für unendliche Mengen ist das im Allgemeinen falsch. Diese können injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge auf sich selbst, die keine Bijektionen sind.
Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben, siehe dazu auch Dedekind-Unendlichkeit. - Sind die Funktionen und bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung . Die Umkehrfunktion von ist dann .
- Ist bijektiv, dann ist f injektiv und g surjektiv.
- Ist eine Funktion und gibt es eine Funktion , die die beiden Gleichungen
( = Identität auf der Menge A)
( = Identität auf der Menge B)
erfüllt, dann ist f bijektiv, und g ist die Umkehrfunktion von f, also g = f − 1. - Die Bijektionen einer Menge A in sich selbst bilden, zusammen mit der Verkettung als Verknüpfung, eine Gruppe, die, falls A endlich ist, „symmetrische Gruppe“ heißt.
Siehe auch
- Isomorphismus (eine strukturerhaltende Bijektion)
Literatur
Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
Weblinks
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