Einsteinsche Gravitationsgleichungen

Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie wird durch die einsteinschen Feldgleichungen, auch Einsteingleichungen, Einstein-Hilbert-Gleichungen oder Gravitationsgleichungen, das physikalische Phänomen der Gravitation klassisch beschrieben.

Die Entwicklung der einsteinschen Feldgleichungen basiert auf der Grundidee, die Schwerkraft zu geometrisieren, also alle Eigenschaften der Gravitation und ihrer Wirkung auf physikalische Prozesse mit Hilfe der Eigenschaften eines riemannschen Raumes abzubilden.

Grundsätzliche Annahmen und Forderungen

Zur Aufstellung der Feldgleichungen sind zunächst physikalische Überlegungen notwendig, da die Form der Gleichungen postuliert werden muss.

So wie die Masse das Gravitationsfeld in der newtonschen Gravitationstheorie verursacht, ist der natürlichste Ansatz für deren Verallgemeinerung, dass das Gravitationsfeld mathematisch von der Gestalt des Energie-Impuls-Tensors T_μν abhängig ist. Nun ist T_μν kein beliebiger symmetrischer Tensor, da er $\nabla \cdot T_{\mu\nu} = 0$ erfüllen muss, d.h. die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors muss verschwinden, damit das Gesetz der Energie- und Impulserhaltung aufrechterhalten wird.

Man macht den Ansatz, dass die Gestalt der Feldgleichungen, welche die Gravitation verallgemeinern, auf der rechten Seite den Energie-Impuls-Tensor als Quelle des Feldes beinhalten. Da somit auf der rechten Seite ein Tensor steht, muss dies auch für die linke Seite gelten. Dieser Tensor sollte die geometrischen Eigenschaften der Raumzeit repräsentieren und eine Kombination des metrischen Tensors und eines Tensors, der die Krümmung beschreibt, darstellen. Die Feldgleichungen nehmen also die Form

G_μν = κT_μν

an, wobei der geometrische Tensor G_μν als Einsteintensor bezeichnet wird. Die Konstante κ heißt einsteinsche Gravitationskonstante, oder einfach Einsteinkonstante und wird als Proportionalitätskonstante angenommen. Diese beiden Größen sind zu bestimmen.

Aus den bisherigen Überlegungen ergeben sich zusammengefasst diese Forderungen:

1. G_μν = 0 für eine flache Raumzeit, d.h. in Abwesenheit von Gravitation.
2. $\nabla \cdot T_{\mu\nu} = 0$ für die Energie-Impuls-Erhaltung.
3. $\nabla \cdot G_{\mu\nu} = 0$ aufgrund obiger Forderung.
4. G_μν ist eine Kombination aus dem Krümmungstensor und dem metrischen Tensor.
5. T_μν ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, daher muss dies auch für G_μν gelten.

Die Feldgleichungen

Mit diesen Forderungen ergeben sich die Feldgleichungen nach einigen aufwendigen Rechnungen zu

$R_{ \mu \nu} - \frac{1}{2} g_{ \mu \nu} R=\kappa T_{ \mu \nu}= \frac{8 \pi G}{c^4} T_{ \mu \nu}$

Hierbei ist G die Gravitationskonstante, c die Lichtgeschwindigkeit, R_μν der Ricci-Tensor, R der Krümmungsskalar und g_μν der metrische Tensor.

Die Feldgleichungen können auch mit umgekehrtem Vorzeichen der Einsteinkonstante definiert werden

$R_{ \mu \nu} - \frac{1}{2} g_{ \mu \nu} R=-\kappa T_{ \mu \nu}= -\frac{8 \pi G}{c^4} T_{ \mu \nu}$.

Dieses Vorzeichen ist rein von der verwendeten Konvention abhängig und ist physikalisch nicht bedeutend; beide Konventionen sind weit verbreitet.

Im Energie-Impuls-Tensor wird berücksichtigt, dass Masse und Energie äquivalent sind; d.h. jede Form der Energie induziert schwere Masse. Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet neben der Massen-Energiedichte (Masse bzw. Energie pro Raumvolumen) weitere Energieformen (z.B. den Druck, den ein Strahlungsfeld ausüben kann). Eine Änderung des Energie-Impuls-Tensors, d.h. eine Änderung der durch ihn beschriebenen Energieverteilungen, hat somit eine Änderung der Struktur der Raumzeit in der Umgebung dieser Energieverteilung zur Folge. Die Struktur der Krümmung der Raumzeit (d.h. des Raumes als auch der Zeit) beeinflusst wiederum die dort befindliche Materie, d.h. Energie, Raum und Zeit stehen in direkter Wechselwirkung. Diese Beeinflussung der Materie, die von den Krümmungen von Raum und Zeit ausgehen, ist im Rahmen unserer Erfahrungswelt nichts anderes als die Gravitation.

Die Vakuumfeldgleichungen

Betrachtet man beispielsweise den Außenraum von Sternen, wo sich als Näherung keine Materie aufhält, so wird T_μν = 0 gesetzt. Man nennt dann

$R_{ \mu \nu} - \frac{R}{2} g_{ \mu \nu}= 0$

oder äquivalent

R_μν = 0

die Vakuumfeldgleichungen und ihre Lösungen Vakuumlösungen. Für die Umgebung einer nichtrotierenden und elektrisch neutralen Kugel der Masse M erhält man in Kugelkoordinaten hieraus beispielsweise die äußere Schwarzschild-Lösung, deren Linienelement die Form

$\mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu=-c^2 \left( 1-\frac{2GM}{c^2 r} \right )\mathrm{d}t^2+\frac {1}{1-\frac{2GM}{c^2 r}}\mathrm{d}r^2 +r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\phi^2$

besitzt.

Einstein-Maxwell-Gleichungen

Wird für T_μν der elektromagnetische Energie-Impuls Tensor

$T_{ \mu \nu} = \, -\frac{1}{ \mu_0} ( F_{\mu}{}^{\alpha} F_{\alpha\nu} + {1 \over 4} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} g_{ \mu \nu} )$

in die Feldgleichungen eingesetzt

$R_{ \mu \nu} - \frac{1}{2} g_{ \mu \nu} R= \frac{8 \pi G}{c^4\mu_0} \, ( F_{\mu}{}^{\alpha} F_{\alpha\nu} + {1 \over 4} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} g_{ \mu \nu} )$

so spricht man von den Einstein-Maxwell-Gleichungen.

Die Kosmologische Konstante

Es stellte sich heraus, dass die einsteinschen Feldgleichungen noch weiter verallgemeinert werden können. So ist es möglich, einen weiteren additiven Term in den Einsteintensor hinzuzufügen, der aus einer Konstanten Λ und dem metrischen Tensor besteht. Damit ist die Forderung der Divergenzfreiheit noch immer erfüllt und so nehmen die Feldgleichungen die Form

$R_{ \mu \nu} - \frac{1}{2} g_{ \mu \nu} R+ \Lambda g_{ \mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{ \mu \nu}$

an. Hierbei ist Λ die kosmologische Konstante, die von Einstein in die Feldgleichungen eingebaut und so gewählt wurde, dass das Universum statisch wird; dies war die damals sinnvollste Anschauung. Es stellte sich jedoch heraus, dass das so von der Theorie beschriebene Universum instabil ist. Als Edwin Hubble schließlich nachwies, dass das Universum expandiert, verwarf Einstein seine Konstante. Angeblich soll er sie anschließend als die größte "Eselei" seines Lebens bezeichnet haben; dies wurde ihm jedoch nur von George Gamow nachgesagt.

Trotz Einsteins Irrtum stellt die kosmologische Konstante heute eine wichtige und rätselhafte Größe im Bereich der modernen Kosmologie dar. Es wurden mehrere Modelle für die Entwicklung eines Universums erstellt, in denen die Konstante eine tragende Rolle spielt. Das bekannteste und einfachste dieser Modelle ist die De-Sitter-Raumzeit. Lange Zeit wurde ihr Wert für 0 gehalten, doch die modernen Methoden der Astronomie haben gezeigt, dass die Konstante einen positiven Wert haben muss, um bestimmte Dinge zu erklären.

Ursprünglich war die Konstante zwar als unabhängiger Parameter gedacht, jedoch kann sie im Vakuumfall mit dem Energie-Impuls-Tensor identifiziert werden. Es ist

$\frac{c^4}{8 \pi G}\Lambda g_{ \mu \nu} = T^{(\mathrm{vac})}_{ \mu \nu}$,

wobei die Konstante

$\rho_{(\mathrm{vac})}:=\frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}$

als Vakuumenergie bezeichnet wird - sie ist eine dem leeren Raum zugrunde liegende Energie. Wenn eine Vakuumenergie existiert, so existiert auch eine nicht verschwindende kosmologische Konstante und umgekehrt.