Elektromagnetische Einheiten

In der geschichtlichen Entwicklung der Physik sind verschiedene Einheitensysteme für elektrische und magnetische Größen entwickelt worden, die zum Teil bis heute koexistieren. Ganz überwiegend hat sich zwar das SI durchgesetzt; zumindest in der theoretischen Physik wird jedoch von vielen Autoren stattdessen die Gaußsche Variante des CGS-Systems bevorzugt.

Für ein Verständnis grundlegend ist die Bemerkung, dass nicht nur die konkrete Auswahl, sondern auch die Anzahl der Basisgrößen in einem physikalischen Einheitensystem willkürlich ist: Man kann Basisgrößen aus einem Einheitensystem eliminieren, indem man stattdessen den Proportionalitätsfaktor in einem linearen „Naturgesetz“ als dimensionslose Zahl wählt. So arbeitet man in der theoretischen Atom- und Teilchenphysik mit einem Einheitensystem, das eine einzige Basisgröße hat, da man Lichtgeschwindigkeit und Plancksches Wirkungsquantum gleich 1 setzt.

Grundlagen

Elektromagnetische Größen sind durch mehrere lineare Gesetze mit mechanischen Größen verknüpft. Für die Wahl des Einheitensystems relevant sind insbesondere folgende Zusammenhänge:

Das Coulomb-Gesetz, das die Kraft F zwischen zwei Punktladungen Q₁ und Q₂ im Abstand r angibt,

$F = k_1 \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$

das Ampèresche Gesetz, das die Kraft F zwischen zwei von Strömen I₁ und I₂ durchflossenen Leitern der Länge L im Abstand d angibt,

$F = k_{2} \cdot 2 \frac { I_{1} \cdot I_{2} \cdot L } { d }$;

und das Faradaysche Induktionsgesetz,

$\nabla \times \vec {E} = - k_3 \cdot \partial \vec {B}/\partial t.$

Die von statischen Ladungen ausgeübte Coulomb-Kraft und die von bewegten Ladungen ausgeübte Lorentzkraft kann man unmittelbar miteinander vergleichen; der Zusammenhang $\textstyle \frac{k_1}{k_2} =c^2$ enthält die Lichtgeschwindigkeit c.

Damit bleiben zwei unabhängige Proportionalitätskonstanten k₁ und k₃ übrig, die die willkürliche Wahl einer elektrischen und einer magnetischen Basiseinheit erlauben. In Maßsystemen, die die elektromagnetischen Größen explizit auf mechanische Größen zurückführen, kann man beide Konstanten als dimensionslose Zahlen oder als mechanische Größen willkürlicher Dimension wählen.

Das elektrostatische CGS-System geht ersteren Weg, setzt also k₁ = k₃ = 1; damit ist k₂ = c ^{− 2}.

Aufgrund der bisherigen Argumentation ist jedoch klar, dass die Wahl von k₁ und k₃ als fundamentale Konstanten vollkommen willkürlich ist; man könnte genauso gut k₂ und k₃ auswählen. Das elektromagnetische CGS-System tut genau dies; es setzt k₂ = k₃ = 1; damit ist k₁ = c².

Das Gaußsche CGS-System wählt wie das elektrostatische System k₁ = 1 und damit k₂ = c ^{− 2}; es setzt sodann k₃ = c ^{− 1}, wodurch erreicht wird, dass die Lichtgeschwindigkeit in den Maxwell-Gleichungen in perfekt symmetrischer Form auftritt.

Das Heaviside-Lorentz-Einheitensystem wählt ebenfalls k₃ = c ^{− 1}, unterscheidet sich aber vom Gaußschen System durch die Wahl $k_1= \textstyle \frac{1}{4\pi}$. Der Faktor 4π nimmt eine Integration über den Raumwinkel vorweg; er macht das Coulombsche Gesetz komplizierter, vereinfacht dafür aber die Berechnung der Kapazität eines Plattenkondensators.

Das SI führt das Ampere als eigenständige Basiseinheit ein. Die amtliche Definition des Ampere impliziert eine Festlegung der Proportionalitätskonstante k₂ als $\textstyle \frac{10^{-7} \mathrm N}{\mathrm A^2}$. Die magnetische Permeabilität des Vakuums wird so definiert, dass k₂ als $\textstyle \frac{\mu_0}{4\pi}$ geschrieben werden kann. Für die Konstante k₁ des Coulomb-Gesetzes schreibt man $\textstyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$. Die Wahl des Faktors 4π ist genauso begründet wie für das Heaviside-Lorentz-System. Aus $\textstyle \frac{k_1}{k_2}=c^2$ folgt, dass die elektrische Permittivität als $\varepsilon_0 = \textstyle \frac{1}{\mu_0 \cdot c^2}$ gegeben ist.

Wichtige Formeln

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Gestalt der wichtigsten Gleichungen der Elektrodynamik in den verschiedenen Einheitensystemen:

Thema	Formel	Konstante K (bzw. Ka, Kb) in folgenden Einheitensystemen:
		SI	elektro- statisch	elektro- magnetisch	Gauß	Heaviside- Lorentz
Coulomb- Gesetz	$\vec F = K\frac{q_1 q_2}{r^2}\vec e_r$	$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$	1	c2	1	$\frac{1}{4\pi}$
Kraftwirkung paralleler Ströme	$F = 2K\frac{I_1 I_2 L}{d}$	$\frac{\mu_0}{4\pi}$	$\frac{1}{c^2}$	1	$\frac{1}{c^2}$	$\frac{1}{4\pi c^2}$
Biot-Savart- Gesetz	$\vec B = Kq\frac{\vec v\times\vec e_r}{r^2}$	$\frac{\mu_0}{4\pi}$			$\frac{1}{c}$	$\frac{1}{4\ \pi c}$
Lorentz-Kraft	$\vec F = Kq\vec v\times\vec B$	1			$\frac{1}{c}$	$\frac{1}{c}$
Dielektrische Polarisation	$\vec D = K_a\vec E + K_b\vec P$	$\varepsilon_0$, 1			1, 4π	1, 1
Magnetisierung	$\vec B = K_a\vec H - K_b\vec M$	μ0, μ0			1, 4π	1, 1
Maxwell- Gleichungen	$\vec\nabla\vec D=K\varrho$	1			4π	1
	$\vec\nabla\vec B=0$	-	-	-	-	-
	$\vec\nabla\times\vec E=-K\frac{\partial\vec B}{\partial t}$	1	1	1	$\frac{1}{c}$	$\frac{1}{c}$
	$\vec\nabla\times\vec H=K_a\vec J+K_b\frac{\partial\vec D}{\partial t}$	1, 1			$\frac{4\pi}{c}$, $\frac{1}{c}$	$\frac{1}{c}$, $\frac{1}{c}$

Literatur

• John David Jackson: Classical Electrodynamics. Appendix on Units and Dimensions (auch auf deutsch erschienen unter dem Titel Klassische Elektrodynamik.)