Faddeev-Popov Geister

Geistfelder sind unphysikalische Felder, die bei der Quantisierung von Eichtheorien im Pfadintegralformalismus auftreten. Sie sind nach Ludwig Faddejew und Wiktor Popow benannt^[1], wurden aber zuerst durch Richard Feynman in Eichtheorien benutzt.

Diese „Geistfelder“ (ghosts) sind Relikte der mathematischen Behandlung der nichtabelschen Eichtheorien (Yang-Mills-Theorie). Im Pfadintegral wird über alle Vektorpotentiale integriert, also auch über solche, die wegen der „Eichfreiheit“ äquivalent sind. Dieses „zu viel zählen“ wird in dem Formalismus von Faddeev und Popov durch Einführung neuer Felder, den ghosts, wieder kompensiert. Die Geistfelder tauchen nur in geschlossenen Schleifen der Feynman-Diagramme auf, wo sie den Beitrag der „überzähligen“ Freiheitsgrade der Vektorpotentiale aufheben. Dazu müssen sie, obwohl sie im Fall der Yang-Mills-Eichtheorien komplexe Skalarfelder $\,c^a$ sind (der Index a bezeichnet ihre Farbfreiheitsgrade, das heißt Werte in adjungierten Darstellungen der Eichgruppe wie der der Vektorpotentialfelder) einer fermionischen Statistik gehorchen, so dass das Schleifendiagramm ein dem Beitrag der (der Statistik nach bosonischen) Vektorfelder entgegengesetzten Betrag ergibt. Sie verletzen also formal das Spin-Statistik-Theorem, was aber keine Rolle spielt, da sie keinen physikalischen Teilchen entsprechen.

Bei Yang-Mills-Feldern (wie der Quantenchromodynamik, siehe die dort angegebene Lagrangedichte) ist ihr Beitrag zur Lagrangedichte:

$\mathcal{L}_\mathrm{ghost} = \partial_\mu \overline{c}^a\partial^\mu c^a + g f^{abc}(\partial^\mu\overline{c}^a) A_\mu^b c^c$

Für abelsche Eichtheorien wie die Quantenelektrodynamik, wo $\,f^{abc}=0$ ist, „entkoppeln“ die Geistfelder und liefern keinen Beitrag.

Quellen

1. ↑ Faddeev, Popov Feynman diagrams for Yang-Mills Fields, Physics Letters B 25, 1967, S.29