Fast sicher

Fast sicher ist ein Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie und äquivalent zu dem Begriff fast überall aus der Maßtheorie.

In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) heißt ein Ereignis $E \in \Sigma$ fast sicher, wenn es mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt, das heißt wenn

$P(E)\;=\;1.$

Ein fast sicheres Ereignis tritt also nicht notwendig ein, sondern auf einer Menge vom Maß eins. Insbesondere ist das sichere Ereignis E = Ω auch fast sicher.

Analog heißt ein Ereignis $E \in \Sigma$ fast unmöglich, wenn

$P(E)\;=\;0.$

Ein fast unmögliches Ereignis kann also eintreten, aber nur auf einer Menge vom Maß null. Das unmögliche Ereignis $E\;=\;\empty$ ist auch fast unmöglich.

Beispiele:

• Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Gleichverteilung auf dem Intervall $[0,1]\in\mathbb R$ genau eine bestimmte Zahl zufällig zu treffen, ist 0, obwohl dieses Ereignis nicht unmöglich ist. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, das Intervall außer einer bestimmten Zahl zu treffen, gleich 1, aber dieses Ereignis wird nicht mit Sicherheit eintreten.
• Auch die Wahrscheinlichkeit, eine rationale Zahl zu treffen, ist 0, obwohl es in diesem Bereich unendlich viele rationale Zahlen gibt, da die rationalen Zahlen nur abzählbar unendlich sind und damit eine Menge vom Lebesgue-Maß 0 bilden. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit, eine irrationale Zahl zu treffen, gleich 1, obwohl dieses Ereignis nicht eintreten muss.