Fokker-Planck Gleichung

Die stets lineare Fokker-Planck-Gleichung (FPG, nach Adriaan Daniël Fokker (1887–1972) und Max Planck (1858–1947))

$\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{1}(x,t)f(x,t)\right] +\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ D_{2}(x,t)f(x,t)\right]$

beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Wirkung von Drift D₁(x,t) und Diffusion D₂(x,t). Für verschwindenden Drift D₁(x,t) geht sie in die Diffusions- (oder auch Wärmeleitungs-) Gleichung über.

Die FPG geht für Markovsche Prozesse aus der Kramers-Moyal-Entwicklung hervor, in der dann alle bis auf die ersten beiden Terme verschwinden.

Die FPG ist eine partielle Differentialgleichung, die sich nur für einige Spezialfälle (hinsichtlich einfacher Körpergeometrie sowie Linearität der Randbedingungen und des Drift- sowie Diffusionskoeffizienten) analytisch exakt lösen lässt. Von großer Bedeutung ist die äquivalente Beschreibung von Problemen durch Langevin-Gleichungen, die im Vergleich zur FPG die mikroskopische Dynamik von stochastischen System beschreiben und – im Gegensatz dazu – im Allgemeinen nichtlinear sind.

Literatur

• Hartmut Haug, Statistische Physik - Gleichgewichtstheorie und Kinetik, Springer 2006, 2. Auflage, ISBN 3-540-25629-6.