Fuzzy-Menge

Fuzzylogik (engl. fuzzy ‚verschwommen‘, fuzzy logic, fuzzy theory ‚verschwommene Logik‘ bzw. ‚verschwommene Theorie‘) ist eine Theorie, welche vor allem für die Modellierung von Unsicherheiten und Unschärfen von umgangssprachlichen Beschreibungen entwickelt wurde. Sie ist eine Verallgemeinerung der zweiwertigen Booleschen Logik. Beispielsweise kann damit die sogenannte "Fuzziness" von Angaben wie "ein bisschen", "ziemlich" oder "stark" mathematisch in Modellen erfasst werden. Die Fuzzylogik basiert auf den Fuzzy-Mengen (Fuzzy-Sets) und sogenannten Zugehörigkeitsfunktionen, die Objekte auf Fuzzy-Mengen abbilden, sowie passenden logischen Operationen auf diesen Mengen und ihrer Inferenz. Bei technischen Anwendungen müssen außerdem Methoden zur Fuzzyfizierung und Defuzzyfizierung betrachtet werden, das heißt Methoden zur Umwandlung von Angaben und Zusammenhängen in Fuzzylogik und wieder zurück, zum Beispiel als Stellwert für eine Heizung als Resultat.

Historische Entwicklung

Die Wurzeln der Fuzzylogik reichen zurück in die griechische Antike. Bereits der Philosoph Platon postulierte, dass zwischen den Begriffen "wahr" und "falsch" ein dritter Bereich liege. Dies ganz im Gegensatz zu seinem Zeitgenossen Aristoteles, welcher die Präzision der Mathematik darin begründete, dass eine Aussage nur entweder "wahr" oder "falsch" sein kann.

Die Fuzzy-Set-Theorie, also die unscharfe Mengenlehre, wurde bereits 1965 von L. A. Zadeh, seinerzeit Professor für Elektrotechnik an der University of California, Berkeley, USA, entwickelt. Die Fuzzy-Technologie fand vor allem in den 1980er Jahren in Japan ihren Aufschwung mit der sogenannten japanischen "Fuzzy-Welle". Ein historisches Beispiel ist die Regelung der vollautomatischen U-Bahn Sendai, die erste erfolgreiche Großanwendung mit Fuzzylogik in der Praxis. Später fand die Fuzzylogik auch in Geräten der Unterhaltungselektronik breite Anwendung. Die europäische Fuzzy-Welle kam erst Mitte der 1990er Jahre, als die Grundsatzdiskussionen über die Fuzzylogik verstummten.

Fuzzy-Set-Theorie

Die Fuzzy-Set-Theorie ist von der mehrwertigen Logik zu unterscheiden, die in den 1920er Jahren der polnische Logiker Jan Łukasiewicz beschrieb. Im engeren Sinne kann die so genannte Fuzzylogik zwar als eine mehrwertige Logik gedeutet werden, und insofern gibt es eine gewisse Nähe zur mehrwertigen Logik, für deren Wahrheitswert einer logischen Aussage Zahlen aus dem reellen Einheitsintervall [0, 1] (die reellen Zahlen von 0 bis 1) verwendet werden, allerdings fasst Zadeh die Fuzzy-Set-Theorie und Fuzzylogik viel weiter, da er das Augenmerk auf die Unschärfe der Zugehörigkeit von Objekten als Elemente der Mengen legt. Dies legt die Betrachtung "unscharfer Begriffe" und eine linguistische Interpretation der Fuzzy-Set-Theorie nahe. Der Begriff der Fuzzylogik wurde zunächst auch nicht von Zadeh, sondern erst später von dem ebenfalls in Berkeley als Professor - allerdings für Linguistik - wirkenden George Lakoff benutzt. Zuvor hatte Joseph Goguen, ein Doktorand von Zadeh, eine „logic of inexact concepts“ eingeführt.

Anwendungsbeispiele

Fuzzylogik wird heute in unterschiedlichen Bereichen eingesetzt: Anwendung findet sie in Bereichen der Automatisierungstechnik, Betriebswirtschaft, Medizintechnik, Unterhaltungselektronik, Fahrzeugtechnik, Regelungstechnik, künstlichen Intelligenz, Spracherkennung und anderen Bereichen. Nützlich ist die Verwendung von Fuzzylogik oft dann, wenn keine mathematische Beschreibung eines Sachverhaltes oder Problems vorliegt, sondern nur eine verbale Beschreibung. Auch wenn - wie fast immer - das vorhandene Wissen Lücken aufweist oder teilweise veraltet ist, bietet sich der Einsatz von Fuzzylogik an, um noch zu einer fundierten Aussage über einen aktuellen oder künftigen Systemzustand zu gelangen. Dann wird aus sprachlich formulierten Sätzen und Regeln mittels Fuzzylogik eine mathematische Beschreibung gewonnen, die in Rechnersystemen genutzt werden kann. Interessant ist dabei, dass mit der Fuzzylogik auch dann Systeme sinnvoll gesteuert (bzw. geregelt) werden können, wenn ein mathematischer Zusammenhang zwischen den Ein- und Ausgabegrößen eines Systems nicht darstellbar ist - oder nur mit großem Aufwand erfolgen könnte, so dass eine Automatisierung zu teuer oder nicht in Echtzeit realisierbar würde.

In einer typischen Anwendung werden Waschmaschinen so programmiert, dass sie je nach Verschmutzung der Wäsche ihre Waschmittelmenge regeln. Ausgangspunkt ist die Überlegung, dass es nicht möglich ist, den Verschmutzungsgrad für Kleidung eindeutig zu bestimmen. Beispielsweise gibt es keine Definition eines Verschmutzungsgrads 55 %. Da aber die Waschmittelmenge dennoch auf einen festen Wert eingestellt werden muss, benötigt man hier eine Logik, die mit unscharfen Begriffen wie leicht verschmutzt oder stark verdreckt umgehen kann. Die Fuzzylogik übersetzt die Aussagen zur Wäscheverschmutzung in eine fest definierte Waschmittelmenge. Beispielsweise wird leicht verschmutzt in 23 g Waschmittel und stark verdreckt in 65 g Waschmittel umgesetzt. Entscheidend ist, dass hinter dieser Logik keine einfache mathematische (lineare) Funktion zu finden ist. Vielmehr müssen die maßgebenden Werte (23 g oder 65 g) aus Erfahrungen, Beobachtungen und empirischen Untersuchungen gewonnen werden.

Weitere Anwendungen sind die Regelung von U-Bahnen, die Prognose der zukünftigen Last in Routern bzw. Gateways oder Mobilfunk-Basisstationen, die Steuerung automatischer Getriebe in Automobilen, Alarmsysteme für die Anästhesie, Zwischenfrequenzfilter in Radios, ABS für Automobile, Brandmeldetechnik, die Prognose des Energieverbrauchs bei Energieversorgern, AF-gekoppelte Mehrfeld-Belichtungsautomatiken und AF-Prädikation in Spiegelreflexkameras etc.

Auch in betriebswirtschaftlichen Anwendungen hat Fuzzylogik erfolgreich Einzug gehalten. Ein erfolgreiches Beispiel ist die Intelligente Schadenprüfung (ISP), mit der sich weltweit Versicherungsunternehmen vor Versicherungsbetrug schützen.

Unscharfe Mengen

Grundlage der Fuzzylogik sind die so genannten unscharfen Mengen. Im Gegensatz zu traditionellen Mengen (im Kontext der Fuzzylogik auch scharfe Mengen genannt), in denen ein Element einer vorgegebenen Grundmenge entweder enthalten oder nicht enthalten sein kann, kann ein Element in einer unscharfen Menge auch ein wenig enthalten sein. Der Grad an Zugehörigkeit wird meist durch eine Zugehörigkeitsfunktion (membership function) µ beschrieben, die den Elementen einer Grundmenge eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet.

Auch auf unscharfen Mengen sind Operationen (siehe: Mengenoperationen) wie auf scharfen Mengen möglich, wie z. B. Durchschnitt (UND), Vereinigung (ODER) und Komplement (NICHT). Zur Modellierung dieser Operationen bedient man sich der Funktionsklassen T-Norm und Negation.

Fuzzyfunktionen

Zusammenfassungen einzelner Zugehörigkeitsfunktionen ergeben die Fuzzyfunktionen. Ein Beispiel dafür ist eine Fuzzyfunktion für das Alter eines Menschen. Diese könnte aus mehreren dachförmigen Dreiecken bestehen, die ihrerseits für verschiedene Alterstypen stehen und Zugehörigkeitsfunktionen dieser einzelnen Alterstypen darstellen. Jedes Dreieck deckt einen Bereich von mehreren Jahren des Menschenalters ab. Ein Mensch mit 45 Jahren hätte so die Eigenschaften: noch jung mit der Wertung 0,75 (das ist noch relativ viel), mittleres Alter mit der Wertung 0,25 (das ist ein bisschen) und von den übrigen Funktionen nichts. Anders ausgedrückt: mit 45 ist man ziemlich viel noch jung und ein bisschen mittel. Die Fuzzyfunktion ordnet jedem Alterswert eine ihn charakterisierende Zugehörigkeitsfunktion zu.

In vielen Fällen werden Fuzzyfunktionen über Tabellen aus statistischen Erhebungen erzeugt. Diese können auch von der Anwendung selbst erhoben werden soweit eine Rückkopplung gegeben ist, wie z. B. in der Fahrstuhlsteuerung. Praktisch bedeutsam ist auch, die Erfahrungen und Intuitionen eines Experten auf dem jeweiligen Gebiet in eine Fuzzyfunktion mit einfließen zu lassen, insbesondere dann, wenn überhaupt keine statistischen Aussagen vorhanden sind, beispielsweise dann, wenn es sich um ein komplett neu zu beschreibendes System handelt.

Diese Dreiecksgestalt ist allerdings keineswegs zwingend, generell können die Werte von Fuzzy-Funktionen beliebige Gestalt haben, solange deren Funktionswerte im Intervall [0,1] bleiben. In der Praxis werden solche Dreieckfunktionen aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit jedoch gerne verwendet. Relativ weit verbreitet sind noch Trapeze (nicht notwendigerweise spiegelsymmetrisch), aber auch Halbkreise finden sich in einigen Anwendungen. Auch können sich prinzipiell mehr als zwei Abschnitte einer Fuzzy-Funktion überlappen (beim hier betrachteten Beispiel scheint das aber nicht sinnvoll zu sein).

Beispiel für eine nicht-lineare Fuzzy-Funktion

Ein Beispiel für eine nicht-lineare Zugehörigkeitsfunktion bildet die folgende Sigmoidfunktion: $S(x,a,\delta)=\begin{cases} 0 & x\le a -\delta \\ 2(\frac{x-a+\delta}{2\delta})^2 & a - \delta < x \le a \\ 1-2(\frac{a-x+\delta}{2\delta})^2 & a < x \le a + \delta \\ 1 & x \ge a + \delta \end{cases}$

Die Kurve drückt durch die Form des Buchstabens S eine ansteigende Zugehörigkeit zu der jeweils beschriebenen Menge durch einen Wert im Wertebereich [0,1] aus. Je nach Anwendungsfall lässt sich eine abnehmende Zugehörigkeit durch eine entsprechende Z-Kurve ausdrücken: Z(x,a,δ) = 1 − S(x,a,δ)

Der Parameter a gibt hierbei den Wendepunkt der S-Kurve an, der Wert δ bestimmt die Neigung der Kurve. Je größer δ gewählt wird, desto flacher wird der Verlauf der resultierenden Funktion.

Das Alter eines Menschen lässt sich mittels dieser Kurve wie folgt als Fuzzy-Funktion darstellen:

Alter eines Menschen Bezeichnung Zugehörigkeitsfunktion sehr jung $s_0: \;(1-s(x,30,30))^2$ jung $s_1: \;1-s(x,30,30)$ nicht mehr sehr jung $s_2: \;1-(1-s(x,30,30))^2$ mehr oder weniger alt $s_3: \;\sqrt{s(x,60,30)}$ alt $s_4: \;s(x,60,30)$ sehr alt $s_5: \;s(x,60,30)^2$ Fuzzyfunktion für das Alter eines Menschen Dabei können die umgangssprachliche Modifikatoren sehr, mehr oder weniger sowie nicht mehr durch einfache Modifikation einer gegebenen Funktion dargestellt werden: Der umgangssprachlich verstärkende Modifikator sehr kann in Form eines erhöhten Exponenten dargestellt werden (im Beispiel $s_0 = s_1^2$). Das Ergebnis ist ein steilerer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion. Der umgangssprachliche Modifikator mehr oder weniger kann durch Verwendung eines niedrigeren Exponenten bzw. der Quadratwurzel auf eine gegebene Funktion ausgedrückt werden($s_3 = \sqrt{s_4}$). Das Ergebnis ist ein flacherer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion. Die Negation eines umgangssprachlichen Ausdrucks lässt durch eine einfache Subtraktion darstellen (s2 = 1 − s0). Den Anwendungfällen entsprechend handelt es sich bei dieser Form der Repräsentation um linguistische Variablen. Letztlich wird aus den einzelnen gewichteten Aussagen ein einziger Zahlenwert berechnet, der das Alter in mathematischer Form auszudrücken vermag. Mit diesem Wert lässt sich dann präzise weiterarbeiten. Auch bei dieser so genannten Defuzzyfikation sind viele Verfahren möglich, das bekannteste (aber bei weitem nicht immer beste) ist sicherlich die Methode Center-of-Gravity, bei der der Zahlenwert gewichtet nach der Masse der geometrischen Form der einzelnen Abschnitte der Zugehörigkeitsfunktion gebildet wird. Eine andere Möglichkeit ist, einfach einen gewichteten Mittelwert der Funktionswerte zu bilden. Begriffsabgrenzung Nicht zu verwechseln mit der Fuzzylogik ist die Fuzzy-Suche, die eine unscharfe Suche in Datenbanken ermöglicht, zum Beispiel, wenn die genaue Schreibweise eines Namens oder Begriffes nicht bekannt ist. Auch wenn die Fuzzy-Werte aus dem Intervall [0,1] formal an Wahrscheinlichkeitswerte erinnern, so ist Unschärfe etwas grundsätzlich anderes als Wahrscheinlichkeit. Vor allem ist zu beachten, dass die Summe der Werte zweier Funktionen, die sich überschneiden, nicht 1 sein muss. Sie kann gleich 1 sein, aber auch darüber oder darunter liegen. Literatur Benno Biewer: Fuzzy-Methoden. Praxisrelevante Rechenmodelle und Fuzzy-Programmiersprachen. Berlin [u.a.]: Springer, 1997. ISBN 3-540-61943-7 Christoph Drösser: Fuzzy logic. Methodische Einführung in krauses Denken. Reinbek bei Hamburg: Rowohlt, 1996. ISBN 3-499-19619-0 Siegfried Gottwald: Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Foundations of Application - from a Mathematical Point of View. Vieweg: Braunschweig/Wiesbaden und Teknea: Toulouse, 1993. Berthold Heinrich [Hrsg.:] Messen, Steuern, Regeln. Elemente der Automatisierungstechnik. 8. Aufl. Wiesbaden: Vieweg, 2005. ISBN 3-8348-0006-6 Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh: Mathematics of Fuzzy Sets: Logic, Topology, and Measure Theory. Springer, 1999, ISBN 0792383885. George J. Klir, Bo Yuan: Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications, 1995, ISBN 0131011715 Andreas Mayer [u.a.]: Fuzzy Logic. Einführung und Leitfaden zur praktischen Anwendung. Bonn [u.a.]: Addison-Wesley, 1993. ISBN 3-89319-443-6 Daniel McNeill u. Paul Freiberger: Fuzzy Logic. Die unscharfe Logik erobert die Technik. Droemer Knauer, München 1994 ISBN 3-426-26583-4 Rodabaugh, S.E.; Klement, E.P (Eds.): Topological and Algebraic Structures in Fuzzy Sets: A Handbook of Recent Developments in the Mathematics of Fuzzy Sets. Springer, 2003, ISBN 978-1-4020-1515-1. Rudolf Seising: Die Fuzzifizierung der Systeme. Die Entstehung der Fuzzy Set Theorie und ihrer ersten Anwendungen - Ihre Entwicklung bis in die 70er Jahre des 20. Jahrhunderts. Stuttgart: Franz Steiner Verlag (Boethius: Texte und Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften Band 54) 2005. ISBN 3-515-08768-0 Hans-Jürgen Zimmermann: Fuzzy Set Theory and its Applications, 2001, ISBN 0792374355 Siehe auch Verwandte Begriffe: Unschärfe und Ungewissheit Dreiwertige Logik Mehrwertige Logik Lineare partielle Information Weblinks Eintrag in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3 Buch zum Thema (PDF) Ein Fuzzy Märchen Fuzzy Logik Image Processing (engl.) 7 Wahrheiten über Fuzzy Logik (engl.) Englische Einführung in das Thema (PDF) Was ist Fuzzy Logic? (englisch) Ein Anwendungsbeispiel - Herzog, Christof; Das Methodenpaket IeMAX mit dem Fuzzy-Simulationsmodell FLUCS - Entwicklung und Anwendung eines Entscheidungsunterstützungssystems für die integrative Raumplanung http://e-diss.uni-kiel.de/diss_622/ Fuzzy Logic Definition im Atrox.at Wiki Einführung in Fuzzy Logic (engl.) Einführung in Fuzzy Logic Dissertation about fuzzy logic in profitability analysis (engl.) Software & tools RockOn Fuzzy: Open Source Fuzzy Control And Simulation Tool (Java) Free Educational Software and Application Notes InrecoLAN FuzzyMath, Fuzzy logic add-in for OpenOffice.org Calc JFuzzyLogic: Open Source Fuzzy Logic Package + FCL (sourceforge, java) Open fuzzy logic based inference engine and data mining web service based on Metarule Open Source Software "mbFuzzIT" (Java)