Ganzheit (Kommutative Algebra)

Ganzheit (Kommutative Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist Ganzheit eine leichte Abwandlung des Begriffes eines algebraischen Elementes, die aber wesentlich andere Eigenschaften bewirkt.

Definition

Es sei A ein Ring und B eine A-Algebra. Dann heißt ein Element b\in B ganz über A, wenn es ein normiertes Polynom

p=X^n+c_{n-1}X^{n-1}+\ldots+c_1X+c_0\in A[X]

gibt, so dass

p(b) = b^n + c_{n-1}b^{n-1} + \ldots + c_1b + c_0 = 0

gilt.

B heißt ganz über A, wenn jedes Element von B ganz über A ist. Ist insbesondere A\subseteq B, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.

Für eine beliebige A-Algebra B heißt die Menge der über A ganzen Elemente von B der ganze Abschluss von A in B.

Eigenschaften

  • Der ganze Abschluss von A in B ist eine A-Unteralgebra von B.

Beispiele

  • Ist A=\mathbb Z und B=\mathbb Q\big(\sqrt5\big), so ist der ganze Abschluss von A in B gleich
\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].

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