Gram-Matrix

Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Maß für die Volumenänderung ihrer Abbildung definieren. Für andere rechteckige Matrizen gibt es Minoren und Gramsche Determinanten (nach Jørgen Pedersen Gram), die ähnliches leisten.

Definition

Für alle Matrizen $A \in K^{m \times n}$ mit $m \leq n$ nennt man Gram(A) = det(A * A^t) die Gramsche Determinante und es gilt: Gram(A) ist nie negativ, wenn $K = \mathbb{R}$ und genau dann 0, wenn rangA < m. Man kann sie auch nach dem Satz von Binet-Cauchy als Summe über das Quadrat aller maximalen Minoren schreiben.

Gramsche Matrix

Für eine Menge von Vektoren $\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n \right\} \subset V, n &amp;lt; \dim V$ definiert man die Gramsche Matrix

$M := \begin{pmatrix} \langle v_1, v_1 \rangle &amp;amp; \cdots &amp;amp; \langle v_1, v_n \rangle \\ \vdots &amp;amp; &amp;amp; \vdots \\ \langle v_n, v_1 \rangle &amp;amp; \cdots &amp;amp; \langle v_n, v_n \rangle \end{pmatrix}$

Abkürzend schreibt man für die Determinante dieser Matrix auch

$\operatorname{Gram}(v_1, v_2, \ldots, v_n) := \det M.$

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.