- Hyperkomplexe Zahlen
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Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Hyperkomplexe Zahlen bilden algebraische Strukturen über den reellen Zahlen mit Addition und Multiplikation. Man fordert die folgenden Eigenschaften:
- Für die Addition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
- Die Addition ist invertierbar.
- Das linksseitige und das rechtsseitige Distributivgesetz gilt.
- Die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen ist bilinear über den reellen Zahlen, also gilt (ax)(by) = ab (xy) für alle a,b
und x,y hyperkomplexe Zahlen.
Andere Eigenschaften werden nicht gefordert:
- Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen braucht weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz zu gelten.
- Die Multiplikation braucht nicht nullteilerfrei zu sein.
- Elemente müssen bzgl. der Multiplikation nicht notwendig invertierbar sein.
Konjugation
Hyperkomplexe Zahlen lassen sich wie folgt als Summe darstellen:
.
Die Größen ik heißen imaginäre Einheiten. Die zu a konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr negatives ersetzt werden (
). Die zu a konjugiert komplexe Zahl wird durch
oder a * dargestellt. Ihre Summendarstellung ist
.
Die Konjugation ist eine Involution auf den hyperkomplexen Zahlen, das heißt, dass
.
Beispiele
Die Komplexen Zahlen
Die Komplexen Zahlen
sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das durch
- z = a + bi mit i2 = − 1
definiert ist.
Die binären Zahlen
Die binären Zahlen sind definiert durch
- z = a + bE mit E2 = 1.
Die dualen Zahlen
Die dualen Zahlen sind definiert durch
- z = a + bΩ mit Ω2 = 0.
Beachte, dass sie nichts mit Dualzahlen zu tun haben.
Die Quaternionen
Die Quaternionen (Symbol oft
nach ihrem Entdecker W. R. Hamilton) bilden eine vierdimensionale
-Algebra mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation. Es handelt sich bei den Quaternionen also um einen Schiefkörper.
Die Oktonionen
Die Oktonionen (Symbol
, auch Oktaven genannt) sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und alternierender Multiplikation.
Die Sedenionen
Die Sedenionen (Symbol
) sind sechzehndimensionale hyperkomplexe Zahlen. Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ oder alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie Nullteiler.
Bemerkungen
Mit dem Verdopplungsverfahren (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, die doppelt so viele Dimensionen wie das Ausgangszahlensystem haben.
Jede Clifford-Algebra ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.
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Literatur
- I. L. Kantor, A. S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen. BSG B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1978.
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