Identisch kongruent

Die Polynomkongruenz ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Es handelt sich dabei um eine Kongruenz, bei der auf beiden Seiten Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten vorkommen. Ein Beispiel ist die Kongruenz

$x^4 + 2x + 1 \equiv x^3 - 6x^2 \pmod {13}$

Die normalisierte Darstellungsform einer solchen Kongruenz ist

$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nc^n \equiv 0 \pmod m$

Um diese Form zu erhalten, muss man teilweise die rechte Seite einer Kongruenz auf beiden Seiten subtrahieren.

Eine Zahl, die diese Kongruenz erfüllt, wird als Wurzel oder Lösung der Kongruenz bezeichnet. Gemeinsam mit dieser Lösung sind auch alle Elemente der zugehörigen Restklasse Lösungen.

Der Grad der Kongruenz ist der höchste Index i, für den a_i nicht durch m teilbar ist. Er ist vom Modul m abhängig und nicht mit dem Grad des entsprechenden Polynoms identisch. Man nennt ihn jedoch auch Grad des Polynoms modulo m. Für eine Kongruenz, bei der alle Koeffizienten durch den Modul teilbar sind, ist kein Grad definiert.

Zwei Polynome f(x) und g(x) sind identisch kongruent modulo m, wenn die Differenz f(x) − g(x) durch m teilbar ist. Man schreibt dann

$f(x) \equiv g(x) \pmod m$

Quellen

• Karl-Heinz Indlekofer: Zahlentheorie. Birkhäuser, Stuttgart 1978, ISBN 3-7643-0942-3