- J-Funktion
-
Die j-Funktion oder absolute Invariante spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Für ist
- ,
dabei sind die Diskriminante,
g2(τ) = 60G4(τ) und g3(τ) = 140G6(τ) Eisensteinreihen zum Gitter .
Eigenschaften
Die j-Funktion ist holomorph auf , die Bezeichnung absolute Invariante erklärt sich aus dem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Modulgruppe , es gilt nämlich:
- , d. h. j ist eine Modulfunktion.
Die j-Funktion bildet surjektiv auf ab. Für Punkte gilt j(z) = j(w) dann und nur dann wenn es eine komplexe Zahl gibt, die das Gitter auf das Gitter überführt, also genau dann wenn die Quotienten und als elliptische Kurven isomorph sind.
Fourierentwicklung
Die j-Funktion lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:
mit q = e2πiτ.
Alle Fourierkoeffizienten cn:
sind natürliche Zahlen. Für ihr Wachstum gilt die asymptotische Formel
- ,
die 1932 von Petersson und unabhängig davon 1938 von Rademacher bewiesen wurde.
Die Fourierkoeffizienten sind Linearkombinationen der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Monstergruppe mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten. Dies folgt aus einer tiefen mathematischen Beziehung, die von McKay, Conway, Norton vermutet und von Richard Borcherds bewiesen wurde („monstrous moonshine“).
Veröffentlichungen
- Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
- Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2
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