Kapazität (Elektrotechnik)

Physikalische Größe
Name	Elektrische Kapazität
Formelzeichen der Größe	C
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI Farad (F) M−1·L−2·T4·I2 CGS Zentimeter (cm) Länge (L)

Die elektrische Kapazität (Formelzeichen C, von lateinisch capacitas = Fassungsvermögen; Adjektiv kapazitiv) ist eine physikalische Größe, die die Fähigkeit eines zu diesem Zweck gebauten Kondensators oder einer elektrischen Leiteranordnung definiert, elektrische Ladung zu speichern. Die elektrische Kapazität wird als Verhältnis der Ladungsmenge Q zur angelegten Spannung U bestimmt:

$C=\frac{Q}{U}$.

Einheit

Die elektrische Kapazität wird in der abgeleiteten SI-Einheit Farad gemessen. Ein Farad (1 F) ist die Kapazität eines Kondensators, der beim Anlegen einer Spannung von 1 Volt eine Ladungsmenge von 1 Coulomb (As) speichert:

$[C]=\frac{[Q]}{[U]} = \frac{1\,\mathrm{As}}{1\,\mathrm{V}} = 1\,\mathrm{F}$

Die SI-Einheit Farad, genannt zu Ehren des englischen Physikers und Chemikers Michael Faraday, hat sich heutzutage international überall durchgesetzt.

Veraltete Einheit

Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Bis Mitte des 20. Jahrhunderts wurde die Kapazität von Kondensatoren allerdings häufig mit der Kapazitätseinheit cm beschriftet. Diese Angabe in Zentimetern rührt daher, dass die Kapazität im heute praktisch kaum noch gebrauchten Gaußschen Einheitensystem in der Längendimension ausgedrückt wird.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Papierkondensator der Firma SATOR aus dem Jahr 1950 mit einer Kapazität laut Aufdruck von „5000 cm“ bei einer Prüfspannung von „2000 V“. Dies wäre eine Kapazität von ca. 5,6 nF im heute üblichen SI-Einheitensystem.

Eine Kapazität von 1 cm im Gaußschen Einheitensystem entspricht 1,1 pF im SI-Einheitensystem, der Umrechnungsfaktor ist 4πε₀. Diese Umrechnung kommt durch die Definition der Feldkonstante im Gaußschen Einheitensystem zustande:

$\varepsilon_0 := \frac {1} {4 \pi}$ im Gaußschen Einheitssystem (nicht im SI-System)

Umgangssprachliche Begriffsverwendung

Der Begriff „Kapazität“ wird unter Elektrotechnikern und Elektronikern häufig auch synonym für das elektrische Bauelement Kondensator (engl.: capacitor) verwendet. Hierbei handelt es sich aber um eine umgangssprachliche, streng genommen unzutreffende Vereinfachung, ein ähnlicher Fall wie der des elektrischen Widerstandes. Siehe auch: „Kapazitätsnormal“.

Beim Akkumulator benutzt man als Begriff für seine „Kapazität“ die in Amperestunden angegebene Ladungsmenge. Man legt dabei den Betriebsspannungbereich des Akkumulators zugrunde (z.B. 44 Ah/3V), womit es sich auch hier wie bei Kondensatoren um eine Kapazität handelt.

Kapazitiver Widerstand

Für den kapazitiven Widerstand X_C bei der Frequenz f gilt

$X_C= - \frac{1}{\omega \cdot C}= - \frac{1}{2\pi f\cdot C}$

Zeitkonstante

Reihenschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators C

Spannung V_C an der Kapazität als Funktion der Zeit

Strom I_R = I_C durch Widerstand und Kapazität als Funktion der Zeit

Das Bild zeigt die typische Anwendung einer Kapazität als Teil einer elektrischen Schaltung. Die Spannung V_in (in diesem Beispiel wird die angelsächsische Symbolik genutzt, d. h. das Symbol V statt U für die elektrische Spannung; vgl. Bild) wird zum Zeitpunkt t = 0 an die Reihenschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators C gelegt. Nach den Gesetzmäßigkeiten von Reihenschaltungen gelten für die Spannung die Zusammenhänge

$\;\!V_\mathrm{in}=V_R + V_C$

$\frac{V_\mathrm{in} - V_C}{R} = C \cdot \frac{\mathrm dV_C}{\mathrm dt}$

Die Differentialgleichung liefert die Lösungen

$\,\!V_C(t) = V_\mathrm{in}\left(1 - e^{-t/RC}\right)$

$\,\!V_R(t) = V_\mathrm{in}\cdot e^{-t/RC}$

$\,\!I_C(t) = \frac{V_\mathrm{in}}{R}e^{-t/RC}$

Das Produkt RC nennt man Zeitkonstante τ (griechisch: tau), die angibt

• zu welchem Zeitpunkt nach dem Einschalten die Spannung V_C an der Kapazität 63,2 % der Anfangsspannung V_in erreicht hat
• zu welchem Zeitpunkt nach dem Einschalten der (Lade-)Strom I_C durch die Kapazität auf 36,8 % des Anfangswertes V_in/R gesunken ist.

Die Zeitkonstante ist Ursache, dass bei großen Kapazitäten geraume Zeit vergehen kann, bis die Spannung V_C ihren Nennwert erreicht.

Beispiel

Ein Kondensator mit C = 100 µF wird über einen Widerstand R = 20 kΩ an eine Spannung V_in = 40 V gelegt. Aus der Zeitkonstante τ = RC = 2 s und den Zeitangaben im Bild folgt, dass nach 3τ = 6 s die Spannung am Kondensator erst 95% des Endwertes 40 V erreicht.

Kapazität bestimmter Leiteranordnungen

Kondensatoren als Bauelemente, die wegen ihrer Kapazität eingesetzt werden, sind ausführlich im Artikel Kondensator (Elektrotechnik) dargestellt. Bei einer Reihe von -übersichtlichen- Leiteranordnungen lässt sich die Kapazität exakt bestimmen. Sie liegen häufig den als Kondensator verwendeten Bauelementen zugrunde. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele:

Bezeichnung	Kapazität	Schematische Darstellung
Plattenkondensator	$C = \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} \cdot \frac{A}{d}$
Zylinderkondensator	$C=2\pi \varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} \, \frac{l}{\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}$
Kugelkondensator	$C=4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)^{-1}$
Kugel	$C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} R_1$
Parallele Zylinder (Lecher-Leitung)	$C = \pi \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \, \frac{l}{\rm arcosh\left(\frac {d}{2R}\right)}$

Hierin bezeichnet ggf. A die Fläche der Leiter, d deren Abstand, l deren Länge, R₁ sowie R₂ deren Radien. '$\varepsilon_0$' ist die Elektrische Feldkonstante des Vakuums und '$\varepsilon_\mathrm{r}$' die relative Permittivität des Dielektrikums. In der schematischen Darstellung sind die Leiter hellgrau bzw. dunkelgrau und das Dielektrikum blau gefärbt.

Berechnungen zur Kapazität

Folgende Formeln gelten für Strom, Spannung und Ladung an einer elektrischen Kapazität:

$i(t) = \frac{\mathrm dQ(t)}{\mathrm dt}$

$u(t) = \frac{1}{C} \cdot \int i(t) \, \mathrm dt$

$i(t) = C \cdot \frac{\mathrm du(t)}{\mathrm dt}$

Allgemeine Situation zur Kapazitätsbestimmung

Die Kapazität einer beliebigen Elektrodenanordnung oder Ladungsverteilung lässt sich mittels des Gaußschen Satzes herleiten:

$C = \frac{Q}{U} =\frac{ \oint_{A} \vec D \cdot \mathrm d \vec{A}} {\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec {s}}$

$C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec {A}} {\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec {s}}$

Dabei beträgt $\vec D = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \vec E$. Für ein Vakuum vereinfacht sich die o.g. Gleichung wegen $\varepsilon_r = 1$ zu:

$C = \varepsilon_0 \cdot \frac{ \oint_{A} \vec E \cdot \mathrm d \vec A }{\int_s \vec E \cdot \mathrm d \vec s}$