Koeffizientenvergleich

Der Koeffizientenvergleich ist ein Verfahren zum Vergleich von Linearkombinationen linear unabhängiger Elemente eines Vektorraums. Häufig ist der Vektorraum der der Polynome eines Grades n, wie zum Beispiel bei der Anwendung des Koeffizientenvergleichs bei der Partialbruchzerlegung. Man verwendet dabei die Tatsache, dass zwei Linearkombinationen (der gleichen Elemente) genau dann gleich sind, wenn ihre jeweiligen Koeffizienten gleich sind.

Meistens vergleicht man zwei Linearkombinationen, von denen eine unbekannte und die andere bekannte Koeffizienten hat, um die unbekannten Koeffizienten der ersteren zu bestimmen, was zu einem linearen Gleichungssystem führt.

Polynome

Zwei Polynome

$P(x)=a_0 + a_1\cdot x + a_2\cdot x^2+...+a_n\cdot x^n$

und

$Q(x)=b_0 + b_1\cdot x + b_2\cdot x^2+...+b_n\cdot x^n$

sind gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen:

$a_0 = b_0, a_1 = b_1, \ldots, a_n = b_n.$

Beispiel

Es sind die beiden Polynome $P(x) = 0 + 2a + a \cdot x + b$ und $Q(x) = 2x + 1\!\,$ gegeben. Für welche Werte von a und b sind die beiden Polynome gleich?

Verglichen werden:

1. $a \cdot x = 2x$ (Vergleich der Koeffizienten von x¹)
2. $2a + b = 1\!\,$ (Vergleich der Koeffizienten von x⁰)

Lösung: a = 2 und b = − 3

Trigonometrische Polynome

$(-a - 8b) \cdot \sin(2x) + (-b + 8a) \cdot \cos(2x) = 130 \cdot \sin(2x)$
Verglichen werden:

1. ( − a − 8b) = 130 (Vergleich der Koeffizienten von sin(2x))
2. − b + 8a = 0 (Vergleich der Koeffizienten von cos(2x))

Lösung: a = − 2; b = − 16