L2-Norm

In der Mathematik sind L^p-Räume spezielle Banachräume, die aus Räumen sogenannter „p-fach integrierbarer“ Funktionen gebildet werden. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Manchmal werden sie daher auch als Lebesgue-Räume bezeichnet. Im Fall Banachraum-wertiger Funktionen (wie im Folgenden für allgemeines E dargestellt) bezeichnet man sie auch als Bochner-Lebesgue-Räume. Das p in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl $0 < p \le \infty$ ist ein L^p-Raum definiert.

Definition

Funktionenraum mit Halbnorm

Sei $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum, E ein Banachraum mit der Norm $\|\cdot\|$ und $0 < p < \infty$. Dann ist die Menge

$\mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E) := \left\{ f: \Omega \to E: f\, {\rm ist\ messbar}\,, \int_\Omega \|f(x)\|^p \,{\rm d}\mu(x) < \infty \right\}$,

wobei „messbar“ sich auf die borelsche σ-Algebra der Normtopologie von E bezieht, ein Vektorraum. Die Abbildung

$\|f\|_p := \left(\int_\Omega \|f(x)\|^p\,{\rm d}\mu(x)\right)^{1/p}$

ist eine Halbnorm auf $\mathcal{L}^p$, wenn $1\le p$. Die Dreiecksungleichung für diese Halbnorm wird Minkowski-Ungleichung genannt und mit Hilfe der Hölder-Ungleichung bewiesen. Nach dem rieszschen Vollständigkeitssatz ist der Raum, versehen mit dieser Halbnorm, vollständig.

$\|\cdot\|_p$ ist genau dann eine Norm, wenn die einzige Nullmenge die leere Menge ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge $N\neq\emptyset$, so ist die charakteristische Funktion 1_N ungleich der Nullfunktion, aber es gilt $\|1_N\|_p=0$.

Faktorraum mit Norm

Um im Fall der Halbnorm einen normierten Raum zu erhalten, definieren wir den Unterraum $\mathcal{N}^p:=\{f\in\mathcal{L}^p | f=0 ~ \mathrm{fast\ \ddot{u}berall}\}$. Der Raum L^p ist dann definiert als der Faktorraum $\mathcal{L}^p/\mathcal{N}^p$. Zwei Elemente von $[f], [g]\in L^p$ sind genau dann gleich, wenn f und g fast überall gleich sind.

Der Vektorraum L^p ist durch $\|[f]\|_p:=\|f\|_p$ normiert. Die Normdefinition hängt nicht von dem Repräsentanten aus [f] ab, das heißt, für Funktionen $f_1,f_2\in[f]$ in der gleichen Äquivalenzklasse gilt $\|f_1\|_p=\|f_2\|_p$. Das begründet sich damit, dass das Lebesgue-Integral invariant gegenüber Änderungen des Integranden auf Nullmengen ist. Der normierte Vektorraum L^p ist vollständig und damit ein Banachraum.

Auch wenn man von sogenannten L^p-Funktionen spricht, handelt es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion. Allerdings liegen im Falle des Lebesgue-Maßes auf dem $\mathbb{R}^n$ zwei verschiedene stetige Funktionen nie in der gleichen Äquivalenzklasse, so dass der L^p-Begriff eine natürliche Erweiterung des Begriffs stetiger Funktionen darstellt.

Sonderfall $p = \infty$

Auch für $p = \infty$ kann man einen L^p-Raum, den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen, definieren. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber für σ-endliche Maßräume alle zusammenfallen. Am verbreitetsten ist:

$\mathcal{L}^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu; E) := \left\{ f: \Omega \to E: f\, {\rm ist\,messbar }\,, \|f\|_\infty < \infty \right\}$;

dabei ist

$\|f\|_\infty := \operatorname{ess\,sup}_{x\in\Omega}|f(x)| \left( = \inf_{N\in \mathcal A\atop \mu(N) = 0}\sup_{x\in \Omega\setminus N} |f(x)|\right).$

Betrachten wir analog zu oben $L^\infty:=\mathcal{L}^\infty/\mathcal{N}^{\infty}$, erhalten wir wieder einen Banachraum.

Beispiele

• Ein sehr wichtiges Beispiel von L^p-Räumen ist durch einen Maßraum $\Omega\subset\R^n$ gegeben, $\mathcal{A}$ ist dann die borelsche σ-Algebra $\mathcal{B}(\Omega)$, und μ das Lebesgue-Maß λ. Darüber hinaus wird E oft als die Menge $\R$ der reellen Zahlen gewählt. In diesem Zusammenhang wird die kürzere Notation $L^p(\Omega):=L^p(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\lambda;\R)$ benutzt.

Einige Autoren schreiben den Parameter p unten statt oben: L_p statt L^p.

• In der Stochastik betrachtet man L^p-Räume, die mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß P ausgestattet sind. Unter einer Zufallsvariable versteht man dann eine messbare Funktion $X:\Omega\rightarrow E$. Weiter ist der Erwartungswert als

$E(X):=\int_\Omega X {\rm d}P\in E$

definiert. Zufallsvariablen, die L¹-Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Da das für praktische Anwendungen immer gefordert ist, sind L^p-Räume gerade in der Stochastik sehr wichtig.

• In einem weiteren wichtigen Fall sind Ω die natürlichen Zahlen und μ das normale Zählmaß. Hier ist der L^p-Raum der Raum aller Zahlenfolgen $\left(a_n\right)_{n\in\N}$, für die die Reihe $\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p$ konvergiert. Diese Räume werden auch oft mit $\ell^p$ bezeichnet.

Wichtige Eigenschaften

• Alle L^p-Räume für $1\le p \le \infty$ sind Banachräume.
• Ist μ ein endliches Maß, gilt also $\mu(\Omega)<\infty$, so folgt beispielsweise aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte, dass $L^q\subseteq L^p\;$ für $q\geq p\geq 1\;$. Für allgemeine Maße gilt für $1<p\leq q\leq r\leq\infty$ stets $\mathcal{L}^q\supseteq\mathcal{L}^p\cap\mathcal{L}^r$. Dies wird auch als "konvexe" oder "Hölder-Interpolation" bezeichnet.
• Für $1 < p < \infty$ sind die Dualräume der L^p-Räume über reflexiven Banachräumen E wieder L^p-Räume. Konkret gilt:

$L^p(\Omega,\mathcal A,\mu; E)^* \cong L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E^*)$,

worin q definiert ist über $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1$; dabei ist der kanonische isometrische Isomorphismus gegeben durch $L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E^*)\to L^p(\Omega,\mathcal A, \mu; E)^*,\quad f \mapsto \left(g \mapsto \int_\Omega\! \langle g(\omega),f(\omega)\rangle_E\, {\rm d} \mu(\omega)\right)$.

Dabei steht $\langle\cdot,\cdot\rangle$ für die kanonische Bilinearform auf $E^*\times E$, nämlich $\langle\xi,x\rangle=\xi(x)$

• Daraus folgt, dass für $1< p < \infty$ und reflexives E die L^p-Räume reflexiv sind.
• Für p = 1 und $E = \mathbb K$ ist $L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)^*$ zu $L^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu)$ isomorph (der Isomorphismus analog zu oben), falls $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ σ-endlich ist. Ist $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ nicht σ-endlich, so lässt sich $L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)^*$ (wieder unter demselben Isomorphismus) als der Banachraum der lokal messbaren lokal im Wesentlichen beschränkten Funktionen darstellen.
• Der Fall p = 2 ist ein Sonderfall: Der L² ist, falls E ein Hilbertraum ist, sogar ein Hilbertraum (siehe unten).
• Die Räume L¹ und $L^\infty$ sind nicht reflexiv.
• Für $1 \leq p < \infty$ ist $C_c^\infty(\Omega)$ dicht in L^p(Ω).

Verallgemeinerungen

Es gibt auch die Verallgemeinerung der L^p-Räume für 0 < p < 1. Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert, sondern nur eine Quasi-Norm. In diesem Fall ist jedoch

$d_p(f,g) := \int_{\Omega} \|f(s)- g(s)\|^p \, {\rm d}s$

eine translationsinvariante Metrik auf $L^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E)$, die diesen Raum zu einem vollständigen metrischen Vektorraum macht. Die Räume L^p([0,1]) sind ein Beispiel für einen nicht lokalkonvexen, topologischen Vektorraum.

Berücksichtigt man in der Norm nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die schwachen Ableitungen, so erhält man Sobolew-Räume, die insbesondere in der Untersuchung von Differentialgleichungen eine wichtige Rolle spielen. Untersucht man statt den messbaren Funktionen nur die holomorphen beziehungsweise die harmonischen Funktionen auf Integrierbarkeit, so werden die entsprechenden L^p-Räume Hardy-Räume genannt.

Der Hilbertraum L²

Sei $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum, $(H, \langle\cdot,\cdot\rangle_H)$ ein Hilbertraum (häufig $\mathbb C$ mit dem Skalarprodukt $\langle w,z\rangle = \overline wz$) und $f,g\in L^2(\Omega, \mathcal{A}, \mu;H)$. Dann definiert

$\langle f,g\rangle_{L^2(\Omega,\mathcal A, \mu; H)}:=\int_\Omega \langle f(x),g(x)\rangle_H\, {\rm d}\mu(x)$

ein Skalarprodukt auf L². Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist ganz offensichtlich die oben definierte L²-Norm, das heißt, dieser Raum ist bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm vollständig und damit selbst wieder ein Hilbertraum.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001