Langzeitkorrelationen

Langzeitkorrelationen sind Korrelationen mit divergierender Korrelationslänge. Das heißt, dass das Integral über die Korrelationsfunktion C(s) keinen endlichen Wert hat:

$s_{\times}=\int_0^\infty\!\! C(s){\rm d}s \quad \rightarrow \quad \infty \,.$

Dies gilt vor allem für eine potenzgesetzartig abfallende Korrelationsfunktion

C(s)˜s ^{− γ}

mit einem Korrelationsexponenten 0 < γ < 1 (im eindimensionalen Fall). Man spricht auch von Langzeitpersistenz, Erhaltungsneigung oder Memory-Effekt.

Grundsätzlich können Langzeitkorrelationen bei Autokorrelationen, Kreuzkorrelationen und allgemein im multivariaten Fall auftreten, sind bisher aber hauptsächlich bei ersteren untersucht worden.

Aufgrund der langsam abfallenden Korrelationsfunktion, sind aufeinanderfolgende Werte weit/lang miteinander korreliert. Bei positiven Korrelationen folgt auf einen hohen Wert eher ein weiterer hoher und auf einen niedrigen ein niedriger. Bei Langzeikorrelationen gilt dies wegen obigen Potenzgesetes ebenso für ausgedehnte hohe bzw. niedrige Bereiche, die dann auf gleiche Weise miteinander korreliert sind wie die Einzelwerte. Dies führt zu einer ausgeprägten Berg- und Talstruktur, die sich etwa darin äußert, daß sich langzeitkorrelierte Sequenzen schwer von Trends abgrenzen lassen.

Langzeitkorrelationen wurden in den verschiedensten Bereichen gefunden, wie z. B. in Abflusszeitreihen, langen Wetteraufzeichnungen, DNA-Sequenzen, Schwanken des Herzschlags, Fluktuationen in neuronalen Aktionspotentialen, im menschlichen Gang, und vielen anderen.

Derartige Korrelationen können mit verschiedenen Methoden quantifiziert werden:

• Die numerisch berechnete Korrelationsfunktion liefert den obigen Korrelationsexponenten γ.
• Das Leistungsspektrum fällt mit dem Exponenten β ab.
• Die Fluktuationsanalyse (siehe Trendbereinigende Fluktuationsanalyse) zeigt den Fluktuationsexponenten α.
• und andere, z. B. Wavelets.

Zwischen den drei Exponenten gelten die Beziehungen:

• β = 1 − γ
• α = 1 − γ / 2.

Erstere kann mittels des Wiener–Khinchin Theorems gezeigt werden.

Langzeitkorrelationen sind selbstaffine Strukturen, die nur unter anisotroper Längentransformation Selbstähnlichkeit zeigen. Damit also z. B. eine langzeitkorrelierte Reihe aus Zufallszahlen sich selbst ähnelt, müssen die Abszisse und die Ordinate mit unterschiedlichen Faktoren gestreckt oder gestaucht werden.

Im Gegensatz zu Langzeitkorrelationen haben Kurzzeitkorrelationen, die z. B. aus einem autoregressiven Prozess hervorgehen, eine endliche Korrelationslänge (z. B. $C(s)={\rm e}^{-s/s_\times}$).

Der Effekt der Langzeitkorrelationen wurde im Jahre 1951 erstmals von H.E. Hurst bei der Untersuchung der langjährigen Nilreihe beschrieben. Hurst untersuchte, welche Pegelschwanken des Nils ein Staudamm fassen muß, ohne überzulaufen oder auszutrocknen, was zu seiner R/S-Analyse mit dem Hurst-Exponenten H (verwandt mit α) führte. Im Zuge der Chaosforschung wurde die Thematik aufgegriffen und ist heute in vielen Bereichen Gegenstand der Forschung.

Eine Erweiterung der Beschreibung von Langzeitkorrelationen stellt die Multifraktalität dar, bei der verschiedene Momente unterschiedlich langzeitkorreliert sind, was besonders stark bei Abflusszeitreihen auftritt.

Literatur

• H.E. Hurst: Long-term storage capacity of reservoirs, 1951, Transactions of the American Society of Civil Engineers, 116 (2447), 770-808.
• Feder, J.: Fractals, 1988, Plenum Press, New York.
• Bunde, A. und Havlin, S. (Hrsg.): Fractals and Disordered Systems, Springer, Berlin, Heidelberg, New York , 1996 (2. Auflage).
• Bunde, A. und Kantelhardt, J.W.: Langzeitkorrelationen in der Natur: von Klima, Erbgut und Herzrhztmus, 2001, Phys Blätter, 57 (5) 49-54.