Laue-Gleichung

Das Laue-Verfahren ist ein Verfahren zur Kristallstrukturanalyse. Es ist benannt nach dem deutschen Physiker Max von Laue. Historisch gesehen ist es das älteste Verfahren der Röntgenbeugung; mit ihm wurde die Röntgenbeugung entdeckt.

Beschreibung

Während beim Debye-Scherrer-Verfahren Röntgenstrahlen an vielen kleinen Kristallen eines Kristallpulvers gebeugt werden, wird beim Laue-Verfahren ein Einkristall benutzt, um die Röntgenstrahlen zu beugen. Statt der Beugungslinien bzw. -kreise bei der Pulverbeugung erhält man bei der Einkristallbeugung punktförmige Reflexe.

In den meisten Experimenten der Röntgenbeugung an Kristallpulvern und Einkristallen wird monochromatische Röntgenstrahlung verwendet, d. h. Strahlung mit nur einer Wellenlänge. Im Laue-Verfahren dagegen wird sogenannte weiße, nicht-monochromatische Röntgenstrahlung (Bremsstrahlung) verwendet. Das bedeutet, dass mehrere Gitterschichten gleichzeitig die Beugungsbedingung $n \lambda = 2d \, \sin(\theta)$ erfüllen (siehe Bragg-Gleichung). Damit ist das Laue-Verfahren sehr viel schneller als die Beugung mit monochromatischer Strahlung.

Man kann mit dem Laue-Verfahren deshalb auch dynamische Prozesse in Kristallen verfolgen. Besonders bei Proteinkristallen lassen sich (dynamische) Änderungen der Proteinstruktur im Kristall beobachten und damit Rückschlüsse auf die Funktionsweise der Proteine treffen. Der Nachteil ist aber, dass man nicht weiß, welcher Reflex von welcher Wellenlänge stammt (Indizierungsproblem). Außerdem treten viele Reflexe gleichzeitig auf, so dass sie oft miteinander überlappen. Während das Experiment des Laue-Verfahrens sehr schnell ist, ist die spätere Datenverarbeitung sehr schwierig und zeitaufwändig.

Mittels der Laue-Bedingung lassen sich die Richtungen der Beugungsreflexe angeben. Eine ebene Welle mit Wellenvektor $\vec k$ falle auf das Gitter. Konstruktive Interferenz ergibt sich in Richtung $\vec k'$, wenn $\Delta \vec k=\vec k-\vec k'$ ein Wellenvektor des reziproken Gitters ist. Die Laue-Bedingung lautet also:

$\vec k - \vec k' = \vec G$.

Unter Vernachlässigung des Rücktoßes ist wegen Energieerhaltung $|\vec k'|=|\vec k|$ (siehe Ewaldkugel).

Die Position des Reflexes auf dem Schirm ergibt sich durch Zentralprojektion. Betrachtet man die (zweidimensionalen) auf eine Ebene senkrecht zu $\vec k$ im Abstand 1 vom Ursprung zentralprojizierten Vektoren $\pi(\vec k')$ und $\pi(\vec G)$, so stellt man fest, dass

$\pi(\vec k')||\pi(\vec G)$

und

$\arctan(|\pi(\vec k')|) = \pi - 2\arctan(|\pi(\vec G)|)$.

Aus der Reflex-Position auf dem Schirm $\pi(\vec k')$ lässt sich somit eine Zentralprojektion von $\vec G$ berechnen: $\pi(\vec G)$. Durch eine Transformation des Reflexbildes beim Laue-Verfahren bekommt man also eine „Fotografie“ des reziproken Gitters, bei der allerdings ein kreisrundes Gebiet im Zentrum fehlt, da dieses Rückstreuungen entspricht. Dieses lässt sich jedoch ergänzen, wenn man auch in Rückwärtsrichtung einen Schirm aufstellt. Hier modifiziert sich die Transformation entsprechend:

$\arctan(|\pi(\vec k')|) = 2\arctan(|\pi(\vec G)|)$.

Literatur

• W. Friedrich, P. Knipping, M. von Laue: Interferenz-Erscheinungen bei Röntgenstrahlen. In: Bayerische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte. S. 303–322. 
  W. Friedrich, P. Knipping, M. von Laue: Interferenz-Erscheinungen bei Röntgenstrahlen. In: M. von Laue (Hrsg.): Gesammelte Schriften und Vorträge. Band I., Friedr. Vieweg & Sohn., 1961, S. 183–207. 
• Jose Luis Amoros, M.J. Buerger, M.C. Amoros: Laue Method. Cambridge University Press, Cambridge 1975, ISBN 0-120-57450-0. 
• J.R. Helliwell: Macromolecular crystallography with synchrotron radiation. Academic Press, New York 2005, ISBN 0-521-54404-1.