Leibnizsche Reihe

Im Jahre 1682 steuerte Gottfried Wilhelm Leibniz der Suche nach einer bestmöglichen Annäherung an die Kreiszahl Pi folgende Formel bei, die auch als Leibniz-Reihe bekannt ist:

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \frac{\pi}{4}$.

Dabei erhöht sich der Wert des Nenners eines jeden Summanden im Vergleich zum vorherigen um jeweils 2. Diese Formel war dem indischen Mathematiker Madhava bereits im 14. Jahrhundert und dem schottischen Mathematiker Gregory vor 1671 bekannt, Leibniz entdeckte sie für die kontinentaleuropäische Mathematik neu.

Die Konvergenz dieser unendlichen Reihe folgt unmittelbar aus dem Leibniz-Kriterium.

Konvergenzgeschwindigkeit

Das Restglied der Summe für Pi nach n Summanden beträgt

$R_n = 4\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2k+1} - \pi = -4\sum_{k=n}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$.

Mit der Fehlerabschätzung des Leibniz-Kriteriums gilt

$|R_n| \leq \frac{4}{2n+1}$.

Genauere Betrachtungen zeigen sogar, dass

$|R_n| < \frac{1}{n} \in \mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)$.

Mit $n\!\,$ Summanden kann man also $s\!\,$ Nachkommastellen mit einem Fehler < 0,5 in der $s\!\,$-ten Nachkommastelle erhalten:

$s(n) = \lg\frac{n}{2}$

Die Anzahl benötigter Summanden $n\!\,$ für $s\!\,$ sinnvolle Nachkommastellen im Ergebnis beträgt entsprechend

$n(s) = 2 \cdot 10^{\textstyle s}$

Verbesserte Konvergenzgeschwindigkeit durch ein zusätzliches Korrekturglied

Die Partialsumme oszilliert, da sie das Leibniz-Kriterium erfüllt, stets um den Wert der unendlichen Reihe herum. Der Grenzwert liegt dabei in etwa in der Mitte zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Das kann man nutzen um eine verbesserte Version der Formel zu erzeugen, indem man vom nächsten Glied nach der Reihe noch die Hälfte addiert.

Eine verbesserte Formel ist somit:

$\pi = \lim \limits_{n\to \infty} 4 \cdot \left( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2k+1} + \frac{1}{2} \frac{(-1)^n}{2n+1} \right)$

Das Restglied ist dann beschränkt durch

$|R_n| &amp;lt; \frac{1}{2n^2} \in \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$.

Damit ist der Zusammenhang zwischen der Anzahl Summenglieder $n\!\,$ und sinnvollen Nachkommastellen $s\!\,$

$s(n) = 2\cdot\lg n$

$n(s) = 10^{\textstyle s / 2}$

Eine Liste von Partialsummen, die sich aus Leibniz' Formel ergeben

Mit Hilfe der Leibniz-Reihe lässt sie eine Näherung der Kreiszahl berechnen, denn es ist

$\pi = 4 \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \lim \limits_{n\to \infty} \left(4 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}\right)$.

Die folgende Liste zeigt die Folgenglieder der Folge von Partialsummen der mit 4 multiplizierten Leibniz-Reihe.

Da die Folge nur sehr langsam konvergiert, ist sie zur effizienten Berechnung von Pi nicht geeignet.

n (Anzahl der berechneten Brüche)	$4 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}$ (Ergebnis)	Verhältnis zur Kreiszahl
2	2,666666666666667	0,848826363156775
4	2,895238095238095	0,921582908570213
8	3,017071817071817	0,960363786700453
16	3,079153394197426	0,980124966449415
32	3,110350273698686	0,990055241612751
64	3,125968606973288	0,995026711499770
100	3,131592903558553	0,996816980705689
1.000	3,140592653839793	0,999681690193394
10.000	3,141492653590043	0.999968169011461
100.000	3,141582653589793	0,999996816901138
1.000.000	3,141591653589793	0,999999681690114
10.000.000	3,141592553589793	0,999999968169011
100.000.000	3,141592643589793	0,999999996816901
1.000.000.000	3,141592652589793	0,999999999681690

Diese Liste wurde mit einem Java-Programm erstellt und mit bc korrigiert.

Siehe auch:

• Wallissches Produkt
• Arkustangens
• Kreiszahl