Linear prediction

Lineare Vorhersage (engl. linear prediction) ist ein mathematisches Verfahren der Zeitreihenanalyse, welches zukünftige Werte eines Signals beziehungsweise einer diskreten Zeitreihe als eine lineare Funktion der Werte der Vergangenheit der gleichen Zeitreihe schätzt. Eine Variante ist das ökonometrische Verfahren, welches zusätzlich Werte einer weiteren Zeitreihe, von deren Werten die betrachtete Zeitreihe abhängt, berücksichtigt.

Für zentrierte, reelle und stationäre Zeitreihen sind die Koeffizienten der Schätzfunktionen durch die Yule-Walker-Gleichungen gegeben, dies entspricht der Modellierung durch einen AR(p)-Prozess. Weiter finden Verfahren der orthogonalen Projektion (die Gram-Schmidt-Rekursion) Anwendung.

Die Bezeichnung linear prediction wird auch abkürzend für die Anwendung dieser Theorie in der digitalen Signalverarbeitung verwendet, siehe linear predictive coding.

Mathematische Darstellung

Eine übliche (eindimensionale) Darstellung ist

$\widehat{x}(n) := \sum_{i=1}^p a_i x(n-i)\,$,

mit $p,n \in \mathbb N$ und $x(i) \in \mathbb R$, wobei $\widehat{x}(n)$ der vorhergesagte Wert, x(n − i) die bereits beobachteten Werte und $a_i \in \mathbb R$ die Schätzkoeffizienten darstellen. Der Schätzfehler hat die Darstellung

$e(n) = x(n) - \widehat{x}(n)\,$,

worin x(n) den wahren Wert zum Zeitpunkt n bezeichnet.

Die Prognoseverfahren unterscheiden sich in der Art und Weise, wie die Parameter a_i bestimmt werden.

Für mehrdimensionale Zeitreihen wird eine Fehlermetrik der Gestalt

$e(n) := \|x(n) - \widehat{x}(n)\|\,$

definiert, wobei für $\|\cdot\|$ eine geeignete Vektornorm gewählt wird.

Literatur

• Jens-Peter Kreiß und Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-33571-4.