Linksschiefe Funktion

Beispiel von experimentellen Daten mit einer Schiefe von ungleich Null

Die Schiefe beschreibt die „Neigungsstärke“ einer statistischen Verteilung X. Sie zeigt an, ob und wie stark die Verteilung nach rechts (positive Schiefe) oder nach links (negative Schiefe) geneigt ist.

Definition

In der Statistik ist die Schiefe $\operatorname{v}(X)$ einer Zufallsvariablen X das auf die dritte Potenz der Standardabweichung bezogene zentrale Moment 3. Ordnung μ₃(X):

$\operatorname{v}(X) := \frac{\mu_3(X)}{\sigma^3(X)}=\frac{\operatorname{E}\left((X-\operatorname{E}(X))^3\right)}{\operatorname{Var}(X)^{\frac{3}{2}}}$.

mit dem Erwartungswert $\operatorname{E}(X)$ und der Varianz $\operatorname{Var}(X)$.

Die Schiefe ist invariant unter linearer Transformation:

$\operatorname{v}(aX+b)=\operatorname{v}(X)$

Deutung

Ist $\operatorname{v}>0$, so ist die Verteilung rechtsschief, ist $\operatorname{v}<0$, ist die Verteilung linksschief (auch genannt rechtssteil). Bei rechtsschiefen (oder linkssteilen) Verteilungen sind Werte, die kleiner sind als der Mittelwert, häufiger zu beobachten, so dass sich der Gipfel (Modus) links vom Mittelwert befindet; der rechte Teil des Graphs ist flacher als der linke.

Die Schiefe ist ein Maß für die Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Mittelwert. Da die Gaußsche Normalverteilung die Schiefe Null hat, ist die Schiefe ein geeignetes Werkzeug, um eine beliebige Verteilung mit betragsmäßig positiver Schiefe mit der Normalverteilung zu vergleichen. (Für einen Test dieser Eigenschaft siehe z. B. den Kolmogorow-Smirnow-Test.)

Nicht nur die Normalverteilung weist eine Schiefe von Null auf. Auch beliebige andere in Bezug auf den Mittelwert gänzlich symmetrische Verteilungen weisen eine Schiefe von Null auf. Ein Beispiel stellt eine bimodale und symmetrische Verteilung dar.

Englischer Fachausdruck: Skew bzw. Skewness

Interpretation der Schiefe

Rechtsschiefe Verteilungen findet man z.B. häufig beim Pro-Kopf-Einkommen. Hier gibt es einige wenige Personen mit extrem hohem Einkommen und sehr viele Personen mit eher niedrigem Einkommen. Durch die 3. Potenz erhalten die wenigen sehr extremen Werte ein hohes Gewicht und es entsteht ein vom Vorzeichen positives Schiefemaß. Es gibt verschiedene Formeln, um die Schiefe zu berechnen. Die gängigen Statistikpakete wie SPSS, SYSTAT, STATA etc. nutzen besonders im Falle einer kleinen Fallzahl von obiger, momentbasierter Berechnungsvorschrift abweichende Formeln.

Literatur

• W. H. Press et al.: Numerical Recipes in C. 2. Auflage. Cambridge University Press, 1992, Kapitel 14.1.

Siehe auch

• Wölbung (Statistik)