- Lipschitzkonstante
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Lipschitz-Stetigkeit (nach Rudolf Lipschitz) ist ein Begriff aus der Analysis.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine Funktion heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante L existiert mit
Dies ist ein Spezialfall der folgenden, allgemeinen Definition.
Seien (X,dX) und (Y,dY) metrische Räume. Eine Funktion heißt Lipschitz-stetig, falls es eine (nichtnegative) reelle Zahl L gibt, sodass
erfüllt ist. L wird Lipschitz-Konstante genannt. Anschaulich gesprochen, ist die Steigung von f nach oben durch L beschränkt. Ist eine Funktion Lipschitz-stetig, so sagt man auch sie erfülle die Lipschitz-Bedingung.
Eine Abschwächung der Lipschitz-Stetigkeit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Eine Funktion heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn es um jeden Punkt in X eine Umgebung gibt, sodass die Einschränkung von f auf diese Umgebung Lipschitz-stetig ist. Eine Funktion die nur auf einer Teilmenge definiert ist, heißt Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig, wenn sie Lipschitz- oder lokal Lipschitz-stetig bezüglich der metrischen Räume (A,dX | A) und (Y,dY) ist.
Eigenschaften
Lipschitz-stetige Funktionen sind lokal Lipschitz-stetig. (Wähle ganz X als Umgebung und stets L als Lipschitz-Konstante.) Lokal Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig (Wähle in der -δ-Definition der gleichmäßigen Stetigkeit.) und entsprechend sind Lipschitz-stetige Funktionen gleichmäßig stetig. Daher ist Lipschitz-Stetigkeit „stärker“ als gleichmäßige Stetigkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z. B. die Funktion zwar Hölder-stetig mit Exponenten 1 / 2 und daher gleichmäßig stetig, jedoch nicht Lipschitz-stetig (siehe Beispiel).
Nach dem Satz von Rademacher ist eine lipschitzstetige Funktion fast überall differenzierbar. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht lipschitzstetig sind, z. B. . Eine differenzierbare Funktion mit ist genau dann lipschitzstetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.
Anwendung
Lipschitz-Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe Satz von Picard-Lindelöf). Abbildungen mit einer Lipschitz-Konstante kleiner als eins nennt man Kontraktion. Diese sind wichtig für den Fixpunktsatz von Banach.
Beispiele
Für eine Lipschitz-stetige Funktion ist der Quotient
mit durch jede Lipschitz-Konstante von f nach oben beschränkt. Für lokal Lipschitz-stetige Funktionen ist der Quotient auf hinreichend kleinen Umgebungen beschränkt.
Daher ist die Funktion mit wegen
zwar stetig und sogar gleichmäßig stetig jedoch nicht lokal Lipschitz-stetig und folglich auch nicht Lipschitz-stetig.
Für die Funktion mit folgt mit
dass
Das heißt, L ist eine Lipschitz-Konstante für diese Funktion.
Weil für g der Quotient gleich | x + y | ist, folgt, dass g nur für einen beschränkten Definitionsbereich Lipschitz-stetig ist, für unbeschränkte jedoch nicht.
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