Millikanscher Öltröpfchenversuch

Beim Millikan-Versuch handelt es sich um ein Experiment, mit dem es dem amerikanischen Physiker Robert Andrews Millikan 1910 gelang, die Elementarladung präzise zu bestimmen.^[1][2] Der Versuch wurde zuvor von Harold Albert Wilson, Joseph John Thomson und anderen Forschern durchgeführt ^[3]. Millikan verbesserte ihn aber maßgeblich und erhielt u.a. für diese Leistung 1923 den Nobelpreis für Physik.

Die wichtigste Verbesserung bestand darin, dass er die zuvor eingesetzten Stoffe Wasser bzw. Alkohol durch nichtflüchtige Flüssigkeiten wie Öl und Quecksilber ersetzte.^[4]

Um die Elementarladung zu bestimmen, maß Millikan die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit von geladenen Öltröpfchen in einem elektrischen Feld. Er ermittelte dabei einen Wert für die Elementarladung von

$e = 4{,}774 \cdot 10^{-10}$ esu $= 1{,}592 \cdot 10^{-19}$ Coulomb^[5].

Inzwischen wurde Millikans Versuchsaufbau durch präzisere Methoden zur Bestimmung der Elementarladung ersetzt.

Der aktuell genaueste Wert dieser physikalischen Naturkonstanten beträgt e = 1,602 176 487 (40)· 10⁻¹⁹ C^[6].

Versuchsaufbau

schematischer Versuchsaufbau

Mit einem Zerstäuber werden feinste Öltröpfchen erzeugt. Diese Öltröpfchen sind so klein (etwa 0,5 µm), dass man sie nicht einmal mit einem Mikroskop sehen kann. Daher verwendet man die Dunkelfeldbeleuchtung. Man beleuchtet die Tröpfchen mit Licht, das in einem bestimmten Winkel (ca. 150° zum Mikroskop) einfällt. Dadurch entstehen Beugungsscheibchen, die man im Mikroskop sehen kann. Zu beachten ist, dass das Mikroskop oben und unten vertauscht. Wenn das Tröpfchen sinkt, sieht man das Beugungsscheibchen nach oben wandern und umgekehrt. Diese Öltröpfchen werden elektrisch geladen, was bei Millikans historischem Versuchsaufbau durch eine Röntgenröhre geschah. Die Röntgenstrahlung lädt dann die Öltröpfchen elektrostatisch auf, tatsächlich genügt aber die Reibung der Öltröpfchen an der Luft, um diese aufzuladen. Anschließend bringt man diese Tröpfchen in einen Plattenkondensator. Auf jedes Tröpfchen wirkt nun die Gravitationskraft, die das Tröpfchen nach unten zieht, und die dem Archimedischen Prinzip entsprechende Auftriebskraft der Öltröpfchen in der Luft, die nach oben gerichtet ist. Werden die Platten des Kondensators horizontal montiert, so kann man durch Anlegen einer geeigneten Spannung an den Kondensator eine elektrische Kraft derart auf die Tröpfchen ausüben, dass diese die anderen beiden Kräfte kompensiert. Somit kann man geladene Tröpfchen zum Schweben bringen. In diesem Schwebezustand ist die Schwerkraft F_G minus die Auftriebskraft F_A gleich der Kraft im elektrischen Feld F_E. Da sich das Öltröpfchen im Schwebezustand nicht bewegt, erfährt es keine Stokessche Reibung. Durch Lösung der Gleichung F_E = F_G − F_A wäre die Ladung eines Öltröpfchens theoretisch bestimmbar. Dieses Verfahren ist allerdings nicht praktisch durchführbar, da die Beugungsscheibchen im Mikroskop keine Rückschlüsse auf den Radius eines Öltröpfchens zulassen.

Um den Radius der Tröpfchen zu ermitteln, kann der Umstand genutzt werden, dass sich durch das elektrische Feld im Kondensator und die Gravitationskraft einerseits, andererseits durch die geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft ein Kräftegleichgewicht einstellt, das zu einer konstanten Sinkgeschwindigkeit v₁ führt. Beim Erreichen einer bestimmten Stelle A wird das elektrische Feld bei gleichem Absolutwert der Spannung umgepolt. Dann steigt das Teilchen mit einer wiederum konstanten Geschwindigkeit v₂. Da sich die Öltröpfchen bewegen, wirkt nun zusätzlich eine Stokessche Reibungskraft auf sie.

Berechnungen

Die Schwebemethode

Ein ausgewähltes Öltröpfchen wird durch Variation der Spannung zum Schweben gebracht. Anschließend wird ohne Spannung die Fallgeschwindigkeit gemessen.

Wirksame Kräfte

1. Gewichtskraft (eines kugelförmigen Öltröpfchens im homogenen Schwerefeld der Erde): $F_\mathrm{G} = m g = \frac{4}{3} \, \pi r^3 \rho_\mathrm{O} g$
2. Auftriebskraft (einer Kugel in Luft): $F_\mathrm{A} = \frac{4}{3} \, \pi r^3 \rho_\mathrm{L} g$
3. Kraft im Elektrischen Feld: $F_\mathrm{E} = q E = \frac{qU}{d}$
4. Reibungskraft (nur beim Fall des Tröpfchens)

Im Schwebezustand gilt:

F_E = F_G − F_A

Im Folgenden wird die Auftriebskraft direkt in die Schwerkraft einbezogen, indem

ρ = ρ_O − ρ_L (Dichte des Öls minus Dichte der Luft) gesetzt wird.

Berechnung der Ladung des Öltröpfchens

$q = \frac{F_\mathrm{G}}{E} = \frac{mg}{E} = \frac{\rho V g}{E} = \frac{ \rho \frac{4}{3} \pi r^3 g d}{U}$

Dabei bedeuten:

• π = Kreiszahl
• ρ = Dichte des Öls – Dichte der Luft
• g = Schwerebeschleunigung
• U = Am Plattenkondensator angelegte Spannung
• d = Plattenabstand des Plattenkondensators

Probleme:

1. Der Schwebezustand kann aufgrund der Brownschen Bewegung nur schwer erkannt werden.
2. Da die Öltröpfchen nur als Beugungsscheibchen zu sehen sind, kann man den Radius nur sehr grob abschätzen.

Bestimmung des Radius durch eine Zusatzberechnung

Man kann das zweite Problem umgehen, indem man den Radius durch eine zusätzliche Berechnung bestimmt. Dazu lässt man das ausgewählte Öltröpfchen bei völlig entladenem Kondensator (kein elektrisches Feld) frei sinken. Dabei erhöht sich die Geschwindigkeit solange, bis sich Gravitation F_G und Luftreibungskraft (Stokessche Reibung) F_R kompensieren:

$\,F_\mathrm{R} = F_\mathrm{G}$

$6 \pi \eta v r = \frac{4}{3} r^3 \pi \rho g$

$r = \sqrt{\frac{9 v \eta}{2 \rho g}} = 3 \sqrt{\frac{v \eta}{2 \rho g}}$

• $\,\pi$ = Kreiszahl
• $\,\eta$ = Viskosität der Luft
• $\,\rho$ = Dichte des Öls minus Dichte der Luft
• $\,g$ = Schwerebeschleunigung
• $\,v$ = Sinkgeschwindigkeit des Öltröpfchens (kein elektrisches Feld, wegen der Stokesschen Reibung konstant)

Die Gleichfeldmethode

Bei vorgegebener Spannung wird die Fallgeschwindigkeit eines ausgewählten Öltröpfchens gemessen. Danach, nach Umpolung des Feldes, bei gleicher Spannung die Steiggeschwindigkeit.

Wirksame Kräfte

Sinken im Feld

Steigen im Feld

1. Gewichtskraft (einer Kugel im homogenen Schwerefeld der Erde): $F_\mathrm{G} = \frac{4}{3} \, \pi r^3 \rho_\mathrm{O} g$
2. Auftriebskraft (einer Kugel): $F_\mathrm{A}=\frac{4}{3} \, \pi r^3 \rho_L g$
3. Stokessche Reibungskraft (einer Kugel): $F_\mathrm{R} = 6\,\pi\eta r v^{*}$
4. Kraft im Elektrischen Feld: $F_\mathrm{E} = q E = \frac{qU}{d}$

Dabei bedeuten:

• $\,\eta$ = Viskosität der Luft
• $\,\rho_\mathrm{O}$ = Dichte des Öls
• $\,\rho_\mathrm{L}$ = Dichte der Luft
• $\,v^*$ = Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit des Öltröpfchens

Im Folgenden wird die Auftriebskraft direkt in die Gravitationskraft einbezogen, indem ρ = (Dichte des Öls - Dichte der Luft) gesetzt wird.

Berechnung von Ladung und Radius

$r = \sqrt{\frac{9 \eta (v_1 - v_2)}{4 \rho g}} = 3 \sqrt{\frac{\eta}{4 \rho g} (v_1 - v_2)}$

$q = \frac{3 \pi \eta r (v_1 + v_2)}{E}$

$E = \frac{U}{d}$

Berechnung von q in einer Formel, ohne vorher r und E zu berechnen:

$q = \frac{3 \pi \eta \sqrt{\frac{9 \eta (v_1 - v_2)}{4 \rho g}} (v_1 + v_2)}{\frac {U}{d}} = \frac{9 d \pi}{2 U} \sqrt{\frac{\eta^3}{\rho g}} \sqrt{v_1 - v_2} (v_1 + v_2)$

Dabei bedeuten:

• $\,\pi$ = Kreiszahl
• $\,\eta$ = Viskosität der Luft
• $\,\rho$ = Dichte des Öls – Dichte der Luft
• $\,g$ = Schwerebeschleunigung
• $\,v_1$ = Sinkgeschwindigkeit des Öltröpfchens
• $\,v_2$ = Steiggeschwindigkeit des Öltröpfchens
• $\,E$ = Feldstärke des durch den Plattenkondensator hervorgerufenen homogenen elektrischen Feldes
• $\,U$ = Am Plattenkondensator angelegte Spannung
• $\,d$ = Plattenabstand des Plattenkondensators

Bestimmung der Elementarladung

Da jedes Öltröpfchen aus einer größeren Anzahl von Atomen besteht und nicht nur eine, sondern auch mehrere Ladungen tragen kann, ist jede berechnete Ladung q eines Öltröpfchens ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung. Zeichnet man die Ladungsverteilung vieler Versuche in ein Schaubild ein, ergibt sich keine kontinuierliche Verteilung, sondern es können nur Vielfache der Elementarladung $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ auftreten.

Eine einzelne Elementarladung auf einem Teilchen lässt sich nur dann beobachten, wenn die Spannung hoch genug ist, um gerade noch sichtbare Öltröpfchen mit einer Elementarladung mindestens im Schwebezustand zu halten. Das ist in den meisten Versuchsaufbauten nicht der Fall.

Weblinks

• On the Elementary Electrical Charge and the Avogadro Constant (engl.) - Informationen zu Robert Millikan inklusive der Original-Publikation erschienen 1913 im Physical Review ^[5]
• Remotely Controlled Lab (RCL) (Realexperiment, über das Internet fernbedienbar, siehe dort unter "Labs")
• Millikan-Versuch auf der Website der Universität des Saarlandes
• Java-Applet zum Millikan-Versuch
• Öltröpfchenversuch von Millikan auf www.leifiphysik.de
• Materialien zum Millikan-Versuch zusammengestellt von T. Unkelbach
• Beschreibung des Millikan-Versuchs bei Lern-Online.net (pdf)

Quellen

1. ↑ Millikan, R. A. (1911): The Isolation of an Ion, a Precision Measurement of its Charge, and the Correction of Stokes's Law in: Physical Review (Series 1) Vol. 32, S. 349 - 397, Issue 4 – April 1911 (DOI: 10.1103/PhysRevSeriesI.32.349), eingereicht im Nov. 1910
2. ↑ Robert Millikan im Britannica Online
3. ↑ Phys. Rev. 1911, Seite 349
4. ↑ Phys. Rev. 1911, Seite 351, Anfang Kapitel 2
5. ↑ ^{a b} Millikan, R. A. (1913): On the Elementary Electrical Charge and the Avogadro Constant in: Physical Review (Series 2), Volume 2 109 - 143, Issue 2 – August 1913 (DOI: 10.1103/PhysRev.2.109)
6. ↑ CODATA 2006 [1], 12.09.2007