Normaler Operator

Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra. Ist X ein Hilbertraum, so heißt ein Operator A \in \mathcal{L}(X) normal, falls er mit seiner Adjungierten A^{\ast} kommutiert, d.h. wenn

 A A^{\ast} = A^{\ast} A.

Dabei bezeichnet \mathcal{L}(X,Y) die Menge aller stetigen linearen Abbildungen von X nach Y und \mathcal{L}(X):=\mathcal{L}(X,X) die Menge der stetigen Endomorphismen von X.

Eigenschaften

Sei A\in\mathcal{L}(X) ein normaler Operator. Dann gilt:

Verwandte Begriffe

Ein Operator A\in\mathcal{L}(X) heißt

  • quasinormal, falls A\,\! mit A^{\ast}A vertauscht, das heißt AA^{\ast}A=A^{\ast}AA.
  • subnormal, falls es einen Hilbertraum Y gibt, so dass X Unterraum von Y ist, und einen normalen Operator B\in\mathcal{L}(Y), so dass B(X)\subset X und A=B|_X\,\!
  • hyponormal, falls \|A^{\ast}x\| \le  \|Ax\| für alle x\in X.
  • paranormal, falls  \|Ax\|^2 \le \|A^2x\| \|x\| für alle x\in X.
  • normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.:  \|A\| = \sup\{|\lambda|; \lambda \in \sigma(A)\} .

Es gelten folgende Implikationen:

normal \Rightarrow quasinormal \Rightarrow subnormal \Rightarrow hyponormal \Rightarrow paranormal \Rightarrow normaloid.

Literatur

  • Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), 3-519-22206-X.

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