Normaler Raum

Hinweis: Es gibt zwei unterschiedliche Definitionen für normale Räume und T₄-Räume, bei denen die beiden Begriffe vertauscht sind. Hier gilt, dass ein T₄-Raum normal und hausdorffsch ist (ein normaler Raum ist hier aber nicht hausdorffsch).

Graphische Darstellung eines normalen Raums

Ein normaler Raum ist ein topologischer Raum, in dem zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. In anderen Worten: abgeschlossene Mengen E, F werden durch Umgebungen U, V getrennt.

Diese Eigenschaft ist zum Beispiel Grundlage des Lemmas von Urysohn oder des Fortsetzungssatzes von Tietze. Der Begriff geht zurück auf Heinrich Tietze 1923^[1], seine ganze Tragweite wurde von Urysohn bei seinen Arbeiten über die Fortsetzung von Funktion erkannt. ^[2]

Die Erblichkeit ist in einem normalen Raum auf abgeschlossene Teilmengen eingeschränkt.

Formale Definition des normalen Raumes und des T₄-Raumes (normaler Hausdorff-Raum)

Zu beachten ist, dass die Definition in der Literatur uneinheitlich ist, hier wird für einen normalen Raum nicht die Eigenschaft hausdorffsch gefordert, für einen T₄-Raum jedoch schon.

Sei X ein topologischer Raum. X heißt normal, falls es zu je zwei abgeschlossenen Teilmengen E , F mit $E \cap F = \emptyset$ Umgebungen $U_E \subset \mathfrak{U}(E)$, sowie $U_F \subset \mathfrak{U}(F)$ von E und F gibt mit $U_E \cap U_F = \emptyset$.

Ein normaler Raum, der zusätzlich die Trennungseigenschaft T₂ erfüllt, also ein normaler Hausdorff-Raum ist, wird als T₄-Raum bezeichnet.

Viele Autoren verwenden die Begriffe anders: Sie setzen für einen normalen Raum automatisch hausdorffsch voraus (d.h. T₂-Raum) und verstehen unter T₄-Räumen die in diesem Artikel unter "normal" beschriebene Raumklasse, es entfällt also die Forderung, dass T₄-Räume hausdorffsch sind. Die meisten in den Anwendungen auftretenden normalen Räume sind T₂-Räume.

Beispiele

• Alle parakompakten Hausdorff-Räume und damit die meisten in der Mathematik untersuchten Räume sind normal, insbesondere metrische Räume und Mannigfaltigkeiten.
• Pseudometrische Räume sind dagegen normal, ohne im allgemeinen Hausdorff-Räume zu sein.
• Der topologische Vektorraum aller Funktionen von ℝ nach ℝ mit der durch punktweise Konvergenz induzierten Topologie ist nicht normal. Das Produkt aus überabzählbar vielen nicht-kompakten Hausdorff-Räumen ist niemals normal.

Eigenschaften

Erblichkeit

• Ein abgeschlossener Unterraum eines normalen Raums ist wieder ein normaler Raum.
• Produkte normaler Räume sind im Allgemeinen nicht normal, wie das Beispiel der Sorgenfrey-Ebene zeigt.

Fortsetzung stetiger Funktionen

→ Hauptartikel: Fortsetzungssatz von Tietze

Ein topologischer Raum ist genau dann ein normaler Raum, wenn jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge stetige, reellwertige Funktion zu einer auf den ganzen Raum stetigen, reellwertigen Funktion fortgesetzt werden kann.

Lemma von Urysohn

Hauptartikel: Lemma von Urysohn

Ein topologischer Raum X ist genau dann ein normaler Raum, wenn es zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Mengen $A,B\subset X$ eine stetige Funktion $f:X\rightarrow [0,1]$ gibt mit f(A) = {0} und f(B) = {1}.

Abgeschlossene Umgebungen

Eine einfache Umformulierung der Definitionen liefert:

Ein topologischer Raum X ist genau dann normal, wenn es zu jeder Umgebung U einer abgeschlossenen Menge A eine offene Menge O gibt, für die gilt

$A \subset O \subset \bar O \subset U$

Das bedeutet, das für jede abgeschlossene Menge die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden.

Zerlegung der Eins

Ein normaler Raum ermöglicht eine Zerlegung der Eins.

Spezialisierungen

Der Begriff des normalen Raums kann auf mehrere Weisen verschärft werden:

• Ein normaler Raum X heißt vollständig normal, wenn es zu je zwei Mengen $A,B\subset X$ mit $A\cap\overline{B}=\emptyset=\overline{A}\cap B$ disjunkte offene Mengen U und V gibt mit $A\subset U$ und $B\subset V$. Hier liegt also eine stärkere Trennungseigenschaft vor. In solchen Räumen sind alle Unterräume, nicht nur die abgeschlossenen, normal.
• Eine normaler Raum heißt perfekt normal, wenn es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen $A,B\subset X$ eine stetige Funktion $f:X\rightarrow [0,1]$ gibt mit A = f ^{− 1}(0) und B = f ^{− 1}(1). In solchen Räumen gilt also eine stärkere Version des Urysohnschen Lemmas.
• Ein normaler Raum heißt total normal, falls es zu jeder offenen Menge $U\subset X$ eine offene Überdeckung $\mathcal{U}=(U_i)_{i\in I}$ gibt, so dass
  • Jedes U_i ist eine F_σ-Menge, d.h. eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen.
  • $\mathcal{U}$ ist lokalendlich auf U, d.h. zu jedem $x\in U$ gibt es eine Umgebung $V\subset U$, die mit nur endlich vielen der U_i einen nicht-leeren Schnitt hat.

Solche Räume spielen in der Dimensionstheorie eine Rolle. Perfekt normale Räume sind total normal.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
• Egbert Harzheim, Helmut Ratschek: Einführung in die allgemeine Topologie. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1975, ISBN 3-534-06355-4 (Die Mathematik).

Einzelnachweise

1. ↑ Heinrich Tietze: Beiträge zur allgemeinen Topologie I. Axiome für verschiedene Fassungen des Umgebungsbegriffs. In: Mathematische Annalen. 88, 1923, ISSN 0025-5831, S. 290–312, online (PDF; 1,23 MB).
2. ↑ N. Bourbaki: Éléments d'histoire des mathématiques. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33938-0, S. 205.