Normalisator

Normalisator

Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es seien G eine Gruppe und U eine Teilmenge von G. Der Normalisator von U in G (geschrieben: NG(U)) ist die Menge aller g \in G, für die

gUg − 1 = U

gilt. Dabei ist gUg^{-1} = \left\{gug^{-1} \mid u \in U\right\}.

Mit anderen Worten: Der Normalisator besteht aus denjenigen g\in G, für die gilt, dass U unter Konjugation mit g invariant ist.

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass U als ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente u\in U und g\in N_G(U) durchaus gug^{-1}\ne u; es gilt aber stets gug^{-1}\in U.

Eigenschaften

  • Der Normalisator ist eine Untergruppe von G.
  • Eine Untergruppe U ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator NG(U). Genauer: NG(U) ist die bezüglich Inklusion größte Untergruppe von G, in der U Normalteiler ist
  • Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in G, wenn ihr Normalisator ganz G ist.
  • Man kann den Normalisator auch wie folgt einführen:
    Sei G eine Gruppe. Man lasse G auf der Menge seiner Untergruppen durch Konjugation operieren. Dann ist der Stabilisator dieser Operation für eine gegebene Untergruppe gerade Normalisator dieser Untergruppe.

Beispiel

Es sei G die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl n. Weiter sei U die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von U in G die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient NG(U) / U ist isomorph zur symmetrischen Gruppe Sn.

Verwandte Begriffe

Fordert man, dass U elementweise invariant unter der Konjugation mit Gruppenelementen ist, erhält man den stärkeren Begriff des Zentralisators ZG(U). Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.


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