Orthant

Ein Orthant um einen Punkt p bezeichnet in der Geometrie eine Teilmenge des d-dimensionalen Raumes $\R^d$, die auf jeweils genau einer Seite der durch p verlaufenden achsenparallelen Hyperebenen liegt. Ein Orthant ist, genauer gesagt, der Schnitt von d zu jeweils einer Achse parallelen und durch p verlaufenden Halbräumen des $\R^d$.

Formal definiert heißt dies, Ω ist ein Orthant zu $p=(p_1,p_2,\ldots,p_d)$, falls

$\Omega = \left\{ x = (x_1,x_2,\ldots,x_d) \in \R^d | e_ip_i \leq e_ix_i \quad \forall i = 1, \ldots, d \right\},$

wobei $e_i \in \{-1,+1\}$ gilt.

Definitionsgemäß gibt es zu einem Punkt des $\R^d$ also genau 2^d Orthanten.

Beispiele

• Im $\R^2$ entsprechen die vier Quadranten des kartesischen Koordinatensystems den Orthanten im Ursprung (0,0).

• Im $\R^3$ nennt man die acht Orthanten im Ursprung entsprechend Oktanten, siehe Oktant (Geometrie).