Poröse-Medien-Gleichung

Poröse-Medien-Gleichung

Die Poröse-Medien-Gleichung (auch englisch als porous medium equation bezeichnet) ist eine nichtlineare degenerierte parabolische partielle Differentialgleichung. Sie besitzt die Form

\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u^m,

worin m > 1 ist und \Delta := \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2} den räumlichen Laplace-Operator bezeichnet.

Die Poröse-Medien-Gleichung wird beispielsweise verwendet, um den Fluss eines idealen Gases in einem homogenen porösen Medium zu beschreiben. In diesem Falle ist dann die Dichte des Gases eine Lösung der Poröse-Medien-Gleichung.

Sie wird auch gelegentlich als nichtlineare Wärmeleitungsgleichung bezeichnet, da man diese bei Einsetzen von m = 1 erhalten würde. Die Wärmeleitungsgleichung besitzt jedoch unphysikalische Eigenschaften, insbesondere eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Durch die Degeneriertheit (m > 1) erhalten die Lösungen aber wesentlich andere Eigenschaften, nämlich beispielsweise eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit (englisch: finite speed of propagation).

Literatur


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