Primzahlenzwillinge

Primzahlenzwillinge
Anzahl der Primzahl-Zwillingspaare kleiner gleich n

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3 und 5), (5 und 7) und (11 und 13).

Inhaltsverzeichnis

Geschichtliches

Der Begriff Primzahlzwilling wurde erstmals von Paul Stäckel benutzt.

Definition

Primzahlzwillinge nennt man zwei Primzahlen p1 und p2, deren Differenz p2p1 = 2 ist. Die Primzahl p2 = p1 + 2 wird dabei auch als Primzahlzwilling zur Primzahl p1 bezeichnet.

Eigenschaften

Mit Ausnahme des Primzahlzwillings (3,5) liegt zwischen den beiden Primzahlen eines Primzahlzwillings immer eine durch 6 teilbare Zahl. Jede ganze Zahl lässt sich nämlich in der Form 6n − 2, 6n − 1, 6n, 6n + 1, 6n + 2 oder 6n + 3 darstellen, wobei n eine ganze Zahl ist. Zahlen der Form 6n − 2, 6n und 6n + 2 sind durch 2 teilbar und können deswegen mit Ausnahme der Zwei keine Primzahlen sein. Zahlen der Form 6n + 3 sind durch 3 teilbar und können deswegen mit Ausnahme der Drei auch keine Primzahlen sein. Somit haben alle Primzahlen über 3 die Form 6n − 1 oder 6n + 1. Daraus folgt, dass jeder Primzahlzwilling mit Ausnahme von (3,5) die Darstellung (6n − 1,6n + 1) hat.

Des Weiteren folgt auch

(6n-1) \cdot (6n+1) + 1 = 36n^2 - 1 + 1 = 36n^2 = (6n)^2.
n (6n-1) (6n+1)
1 5 7
2 11 13
3 17 19
5 29 31
7 41 43
10 59 61
12 71 73
17 101 103
18 107 109
23 137 139
25 149 151
30 179 181
n (6n-1) (6n+1)
32 191 193
33 197 199
38 227 229
40 239 241
45 269 271
47 281 283
52 311 313
58 347 349
70 419 421
72 431 433
77 461 463
87 521 523
n (6n-1) (6n+1)
95 569 571
100 599 601
103 617 619
107 641 643
110 659 661
135 809 811
137 821 823
138 827 829
143 857 859
147 881 883
170 1019 1021
172 1031 1033
n (6n-1) (6n+1)
175 1049 1051
177 1061 1063
182 1091 1093
192 1151 1153
205 1229 1231
213 1277 1279
215 1289 1291
217 1301 1303
220 1319 1321
238 1427 1429
242 1451 1453
247 1481 1483
n (6n-1) (6n+1)
248 1487 1489
268 1607 1609
270 1619 1621
278 1667 1669
283 1697 1699
287 1721 1723
298 1787 1789
312 1871 1873
313 1877 1879
322 1931 1933
325 1949 1951
333 1997 1999

Mit Ausnahme von n=1 ist die letzte Ziffer eines n eine 0, 2, 3, 5, 7 oder eine 8, da im anderen Fall eine der beiden Zahlen 6n-1 bzw. 6n+1 durch 5 teilbar und damit keine Primzahl wäre.

Mit einer ganzen Zahl n lässt sich jede ungerade Zahl in der Form 30n+1, 30n+3, 30n+5, 30n+7, ..., 30n+25, 30n+27, 30n+29 (letztere auch als 30n-1) darstellen. Primzahlen (außer 3 und 5) sind aber nie von einer der 7 Formen 30n+3, 30n+5, 30n+9, 30n+15, 30n+21, 30n+25 und 30n+27, da Zahlen dieser 7 Formen stets durch 3 oder durch 5 teilbar sind.

Daher hat jedes Primzahlzwillingspaar (außer (3,5) und (5,7)) mit einer ganzen Zahl n genau eine der drei Formen

(30n-1, 30n+1), (30n+11, 30n+13), (30n+17, 30n+19)

bzw. die letztere Darstellung, um die Symmetrie zu (30n+11, 30n+13) zu verdeutlichen, alternativ geschrieben als (30n-13, 30n-11).

Sonstiges

Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (3; 5).

Das größte derzeit bekannte Paar von Primzahlzwillingen ist

2003663613 \cdot 2^{195.000} \pm1,

das sind Zahlen mit 58.711 Ziffern. Das Zahlenpaar wurde von Twin Prime Search mit Unterstützung des DC-Projekts PrimeGrid gefunden. Der bisherige Rekord aus dem Jahr 2006 wurde damit um gut 7000 Ziffern übertroffen.

Zwei Primzahlzwillinge mit dem Abstand von vier, also Folgen der Form \{p,\, p+2,\, p+6,\, p+8\}, nennt man Primzahlvierlinge.

Offene Fragestellung

Je größere Zahlen man betrachtet, desto weniger Primzahlen findet man dort. Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren, ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Zwar veröffentlichten die Mathematiker Dan Goldston und Cem Yıldırım 2003 einen Beweis, mit dem sie zeigen wollten, dass es in der unendlichen Folge der Primzahlen immer wieder kleine Abstände zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen gibt, doch Andrew Granville fand noch im selben Jahr einen Fehler in dem 25-seitigen Beweis. Im Mai 2005 konnten Goldston und Yıldırım et al. eine Korrektur vorlegen. Diese wurde von den damaligen Fehlerfindern überprüft und als korrekt gewertet. Der neue, nun saubere Beweis zeigt zudem eine neue Methode auf, die es ermöglichen sollte, den endgültigen Beweis zur Anzahl der Primzahlzwillinge abzuschließen und gilt daher als großer Durchbruch.

Die Summe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent, jedoch hat Viggo Brun im Jahr 1919 bewiesen, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Aus dieser Tatsache kann man nicht schließen, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Der Grenzwert der Summe wird Brunsche Konstante genannt und beträgt nach der neuesten Schätzung von 2002 etwa 1,902160583104.

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