Proximum

Proximum

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei (X,\operatorname{d})\, ein metrischer Raum, Y\subset X eine Teilmenge und x\in X beliebig. Der Abstand des Elements x zur Teilmenge Y wird definiert als

\operatorname{dist}(x,Y):=\inf_{y\in Y} \operatorname{d}(x,y)

(vergleiche hierzu Abstand zweier Mengen).

Existiert nun ein p\in Y mit:

\operatorname{d}(x,p)=\operatorname{dist}(x,Y)\,

so nennt man p Proximum oder Bestapproximation zu x in Y.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum (X,\lVert\cdot\rVert) zu tun. Ein Proximum p zu x\in X in Y\subset X ist dann - falls existent - charakterisiert durch die Gleichung

\lVert x-p\rVert=\inf_{y\in Y} \lVert x-y\rVert

Zur Existenz eines Proximums

  • Sei (X,\lVert\cdot\rVert) ein normierter Raum. V\subset X sei ein endlichdimensionaler Teilraum und Y\subset V abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes x\in X ein Proximum in Y\,.

Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen

Sei f\in C[a, b], U\subset C[a, b] ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für f aus U eindeutig bestimmt.

Sei U ein endlichdimensionaler Unterraum von C[a,b]. Ist für jedes f\in C[a, b] das Proximum aus U eindeutig bestimmt, dann ist U ein Tschebyschow-System.

Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen

Sei f\in C[a, b], U\subset C[a, b] ein n-dimensionales Tschebyschow-System. u_0\in U ist genau dann ein Proximum für f aus U, wenn es n + 1 Stellen xi mit a\leq x_0<x_1<\cdots<x_n\leq b gibt, so dass

  • |f(x_i)-u_0(x_i)|=max_{x\in[a,\, b]}|f(x)-u_0(x)|, i=0,\,\ldots,\, n (Extremalpunkt)
  • sign\left(f(x_{i-1})-u_0(x_{i-1})\right)=-sign(f(x_{i})-u_0(x_{i})), i=1,\,\ldots,\, n (alternierend)

Folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-System.

Proximum im Hilbertraum

Ist X ein Hilbertraum und Y \subset X, Y eine abgeschlossener konvexe nichtleere Teilmenge (z.B. ein abgeschlossener Untervektorraum), dann ist das Proximum eindeutig, d.h. es existiert zu jedem x \in X genau ein  p \in Y mit \lVert x-p\rVert \le \lVert x-y\rVert\, \forall y \in Y


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