Satz von Gauß-Bonnet

Satz von Gauß-Bonnet

Der Satz von Gauß-Bonnet (nach Carl Friedrich Gauß und Pierre Ossian Bonnet) ist eine wichtige Aussage über Flächen, die ihre Geometrie mit ihrer Topologie verbindet, indem eine Beziehung zwischen Krümmung und Euler-Charakteristik hergestellt wird. Dieser Satz wurde unabhängig von beiden Mathematikern gefunden. Man beachte, dass auch französische Geometer ihn mit dem Namen von Gauß und Bonnet bezeichnen.

Inhaltsverzeichnis

Aussage

Sei M eine kompakte und orientierbare zweidimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand \partial M. Bezeichne mit K die Gaußkrümmung in den Punkten von M und mit kg die geodätische Krümmung der Randkurve \partial M. Dann gilt

\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M) ,

wobei χ(M) die Euler-Charakteristik von M ist. Der Satz kann im Besonderen auf Mannigfaltigkeiten ohne Rand angewendet werden. Dann fällt der Term \textstyle \int_{\partial M}k_g\;ds weg.

Falls M eine Fläche ist, kann der Satz auch für stückweise differenzierbare Randkurven formuliert werden. In diesem Fall ergibt sich auf der linken Seite ein Zusatzterm:

\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds+\Sigma \text{AW}(\partial M)=2\pi\chi(M).

Die Außenwinkel AW sind definiert als die Winkel zwischen dem rechts- und linksseitigen Limes der Tangentialvektoren an den Knickstellen von  \partial M . Die Randkurve muss so orientiert sein, dass  N \times c' zur Fläche zeigt. Dabei ist N der Normalenvektor der Fläche und c' der Tangentialvektor an die Randkurve.

Man kann den Satz von Gauß-Bonnet auch auf simpliziale Flächen verallgemeinern, wobei man den Winkeldefekt einer Ecke als diskrete Gaußkrümmung definiert.

Erklärung des Satzes

Verzerrt man die Mannigfaltigkeit, so bleibt ihre Euler-Charakteristik unverändert, im Gegensatz zur Gaußkrümmung an den einzelnen Punkten. Der Satz sagt aus, dass das Integral über die Krümmung, also die Gesamtkrümmung, unverändert bleibt.

Beispiele

Die runde Sphäre M = S2 mit Radius 1 hat in jedem Punkt die Gauß-Krümmung 1. Das Integral über die Gauß-Krümmung entspricht also ihrer Fläche, . Andererseits ist die Euler-Charakteristik 2, da man die Sphäre als Verklebung von zwei (runden) Flächen entlang einer Kante mit einer Ecke bekommt (also 2-1+1=2).

Theorema elegantissimum

Diese von Gauß stammende Folgerung besagt, dass die Gesamtkrümmung \textstyle \int_{\Delta}K\;dA eines einfach zusammenhängenden geodätischen Dreiecks gleich dessen Winkelexzess ist. Für den Spezialfall der 2-Sphäre sieht man über die Außenwinkelsumme eines infinitesimalen (also flachen) Dreiecks von die Äquivalenz zum Satz von Gauß-Bonnet. Die Äquivalenz gilt allerdings – im zweidimensionalen Fall – auch allgemein, was mithilfe einer Triangulierung eingesehen werden kann, denn für diese gilt:

2\pi\chi=2\pi(E-K+F)=2\pi(E-\frac 32F+F)=2\pi E-\pi F=\sum\varepsilon.

Satz von Gauß-Bonnet-Chern

Der Satz lässt sich auf n Dimensionen verallgemeinern, was durch André Weil und Carl B. Allendoerfer 1943 und mit neuen Beweisen durch Chern 1944 geschah.

Sei M eine kompakte orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und sei R der riemannsche Krümmungstensor. Da für diesen R(X,Y) = − R(Y,X) gilt, kann dieser als vektorwertige Differentialform aus dem Raum \mathcal{A}^2(M, \mathfrak{so}(TM)) verstanden werden.[1] Unter diesen Voraussetzungen gilt dann

\chi (M) = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^n}} \int_M \operatorname{Pf}(-R),

wobei \operatorname{Pf} die pfaffsche Determinante ist. Mit dem Wissen, dass für den Fredholm-Index von d + d * die Gleichheit \chi(M) = \operatorname{ind}(\mathrm{d} + \mathrm{d}^*) gilt, wobei d die äußere Ableitung ist, folgt, dass dieser Satz als Spezialfall des Atiyah-Singer-Indexsatzes verstanden werden kann. In diesem Zusammenhang bietet der Satz von Gauß-Bonnet-Chern also eine Möglichkeit zur Berechnung des topologischen Index des Operators d + d * .[2]

Literatur

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1976, ISBN 0-13-212589-7
  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.

Einzelnachweise

  1. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators. Springer 1992, (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften), Seite 33
  2. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators. Springer 1992, (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften), Seiten 149-150

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Gauß-Bonnet — Der Satz von Gauß Bonnet (nach Carl Friedrich Gauß und Pierre Ossian Bonnet) ist eine wichtige Aussage über Flächen, die ihre Geometrie mit ihrer Topologie verbindet, indem eine Beziehung zwischen Krümmung und Euler Charakteristik hergestellt… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Bonnet-Myers — Der Satz von Myers (nach Sumner Byron Myers) ist eine mathematische Aussage aus dem Gebiet der Riemann schen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Diese Aussage kann als Verallgemeinerung des Satzes von Bonnet verstanden werden… …   Deutsch Wikipedia

  • Bonnet — bezeichnet: Bonnet (Familienname), siehe dort Etymologie und bekannte Namensträger mehrere schottische Mützenformen, siehe Schottenmütze einen Stoffstreifen zur Vergrößerung der Segelfläche, siehe Bonnet (Segel) René Bonnet, historische… …   Deutsch Wikipedia

  • Bonnet (Familienname) — Bonnet ist ein Familienname. Herkunft Bonnet ist ein französischer Nachname. Viele Franzosen sind im 16. Jahrhundert aus Frankreich geflüchtet, weil sie wegen ihrer Religionszugehörigkeit verfolgt worden sind. Die Hugenotten haben sich unter… …   Deutsch Wikipedia

  • Gauß-Krümmung — In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum ( ), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung (das gaußsche Krümmungsmaß), benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff neben der… …   Deutsch Wikipedia

  • Gauss-Bonnet — Der Satz von Gauß Bonnet (nach Carl Friedrich Gauß und Pierre Ossian Bonnet) ist eine wichtige Aussage über Flächen, die ihre Geometrie mit ihrer Topologie verbindet, indem eine Beziehung zwischen Krümmung und Euler Charakteristik hergestellt… …   Deutsch Wikipedia

  • Johann Carl Friedrich Gauß — Carl Friedrich Gauß Johann Carl Friedrich Gauß (latinisiert Carolus Fridericus Gauss; * 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker …   Deutsch Wikipedia

  • Johann Gauß — Carl Friedrich Gauß Johann Carl Friedrich Gauß (latinisiert Carolus Fridericus Gauss; * 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker …   Deutsch Wikipedia

  • Carl Friedrich Gauß — Johann Carl Friedrich Gauß (latinisiert Carolus Fridericus Gauss; * 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Phy …   Deutsch Wikipedia

  • Pierre-Ossian Bonnet — (* 22. Dezember 1819 in Montpellier; † 22. Juni 1892 in Paris) war ein französischer Mathematiker und Professor an der Sorbonne in Paris. Bonnet studierte ab 1838 an der École polytechnique und danach an der Écol …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”