Satz von Gauß-Markov

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Der Satz von Gauß-Markow ist ein mathematischer Satz aus dem Bereich der Statistik. Er ist nach den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und Andrei Andrejewitsch Markow benannt.

In Worten lautet dieser Satz: Der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer (BLUE – best linear unbiased estimator) in einem linearen Modell, wenn die zufälligen Fehler (nicht-erklärten Abweichungen):

• unkorreliert sind (keine Autokorrelation),
• einen Erwartungswert von Null haben und
• die gleiche Varianz haben (Homoskedastizität).

Mathematisch kann dies auf folgende Weise wiedergegeben werden: Voraussetzung ist, dass man ein Lineares Modell in der Form

$\underline Y = \underline X \underline \beta + \underline \epsilon$

vorliegen hat, wobei $\underline Y$ eine n-dimensionale und $\underline \beta$ eine p-dimensionale Zufallsvariable sei (siehe Regressionsanalyse). Hierbei nimmt man von der Datenmatrix $\underline X \in \mathbb{R}^{n \times p}$ an, dass sie vollen (Spalten-)Rang hat, das heißt es gilt $\mbox{Rang}(\underline{X})=p \;$ bzw. $det(\underline{X}^T \underline{X}) > 0$. Für den Erwartungswert der Fehler nimmt man an, dass $E(\underline{\epsilon})=0 \;$ ist. Ferner erwartet man für die Varianz der Fehler, dass $\mbox{Cov}(\underline{\epsilon})=\sigma^2 I_n$ gilt.

Damit erhält man:

1. $\underline b = (\underline {X}^T \underline X )^{-1} \underline {X}^T \underline y$ ist BLUE für $\underline \beta$.
2. $\mbox{Cov}(\underline{b})=\sigma^2 (\underline{X}^T \underline{X})^{-1}$
3. $s^2 = SS_{Res} / (n-p) \;$ ist unverzerrter Schätzer für $\sigma^2 \;$

Wobei $SS_{Res} \$ die Residual Sum of Squares bezeichnet.

Weblinks

• Carolo Friderico Gauss: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (1821, 1823) Göttinger Digitalisierungszentrum
• A. A. Markoff: Wahrscheinlichkeitsrechnung (2. Auflage, 1912) Cornell University Library siehe insb. Kapitel 7
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (G) zur Herkunft des Namens
• Erklärungen zum Satz von Gauß-Markov von einem Mitarbeiter des Statistik-Lehrstuhls an der Universität Bonn Ausführungen
• Skriptum eines Mitarbeiters des Lehrstuhls für Statistik und Ökonometrie der Universität Erlangen