Scheitelpunkt einer Parabel

Scheitelpunkte kommen in verschiedenen Bedeutungen in der deutschen Sprache vor, hauptsächlich in der Geometrie.

Scheitelpunkt eines Winkels

Unter dem Scheitelpunkt (Scheitel) eines Winkels versteht man den gemeinsamen Anfangspunkt der beiden Schenkel (also der begrenzenden Halbgeraden oder Strahlen) dieses Winkels.

Scheitelpunkt eines Kegelschnitts

Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts sind die Schnittpunkte einer solchen Kurve mit deren Symmetrieachsen.

Siehe hierzu: Ellipse, Parabel, Hyperbel (Der Kreis hat keinen expliziten Scheitelpunkt).

Hauptscheitel und Nebenscheitel sind nur bei der Ellipse definiert.

Scheitelpunkt einer Parabel

Der Scheitelpunkt einer Parabel in der Analysis ist identisch mit dem Hochpunkt (Maximum), wenn sie nach unten geöffnet ist, und identisch mit dem Tiefpunkt (Minimum), wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.

Wenn die Lage des Scheitelpunktes bekannt ist (siehe unten), kann die Parabel, soweit es sich um eine Normalparabel handelt, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden.

Scheitelpunktform

Eine quadratische Gleichung der Form:

$y\, = ax^2 + bx + c \, , \ a \neq 0$

hat den Scheitelpunkt:

$S\,\left(-\frac{b}{2a} \ \Bigg| \ \frac{4ac-b^2}{4a} \right)$.

Herleitung mittels quadratischer Ergänzung

Die obige Formel kann mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden. Die Normalform wird in die Scheitelpunktform umgeformt.

$\begin{align} y &=ax^2+bx+c\\ &=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\ &=a\left(\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2} - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c\\ &=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c\\ &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac -b^2}{4a} \end{align}$

Daraus können die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt abgelesen werden: $x=-\frac{b}{2a},\quad y = \frac{4ac -b^2}{4a}$.

Herleitung mittels Ableitung

Da die Steigung im Scheitelpunkt gleich 0 ist, ist es möglich mit Hilfe der ersten Ableitung die obige Formel herzuleiten.

$\begin{align} y &= ax^2 + bx + c\\ y' &= 2ax + b\\ 0 &= 2ax + b \Rightarrow x = -\frac{b}{2a} \end{align}$

Einsetzen in die Normalform:

$\begin{align} y &= ax^2 + bx + c\\ &= a\left( -\frac{b}{2a} \right)^2 + b\left( -\frac{b}{2a} \right) + c\\ &= \frac{b^2}{4a} -\frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a}\\ &= \frac{4ac-b^2}{4a} \end{align}$

Beispiele

Diagramm zu Beispiel 1

Beispiel 1

y = x² − 6x + 4

hat den Scheitelpunkt:

$S = \left(-\frac{-6}{2} \ \Bigg| -\left(\frac{6}{2}\right)^2+4 \right)$, mit der Lösung: S = (3 | − 5)

Beispiel 2

y = − x² + 3x + 4

Da diese nicht in der Normalform vorliegt, kann man die Lösung nur durch Umformung hin zur Scheitelpunktform finden.

$y=-\left(x-\frac{3}{2} \right)^2+ \left(\frac{5}{2} \right)^2$

Scheitelpunkt ist: $S = \left(\frac{3}{2}\ \Bigg|\ \frac{25}{4} \right)$

Sonstiges

Der höchste Punkt einer Pass- oder Gebirgsstraße wird als Scheitelpunkt bezeichnet.

Auch der Zenit, also der Punkt lotrecht über einem Ort der Erdoberfläche, wird als Scheitelpunkt bezeichnet.

Links

• Berechnung des Scheitelpunkts einer Parabel