Trennungssatz

Trennungssatz

Der Trennungssatz (auch Satz von Eidelheit) ist ein mathematischer Satz über die Möglichkeiten zur Trennung konvexer Mengen in normierten Vektorräumen (oder allgemeiner lokalkonvexen Räumen) durch lineare Funktionale. Dabei handelt es sich um geometrische Folgerungen aus dem Satz von Hahn-Banach.

Inhaltsverzeichnis

Erste Formulierung

Die einfachste Version des Trennungssatzes lautet wie folgt:

Sei X ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über  \R oder  \mathbb{C} . Seien weiter M \subset X eine abgeschlossene konvexe Menge und x \in X \setminus M. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional  \varphi \in X' mit

{\rm Re} (\varphi(x)) < \inf\{{\rm Re} (\varphi(y))\ |\ y \in M\}.

Hier bezeichnet Re den Realteil und X' den Dualraum von X. Man sagt dann: Das Funktional φ trennt den Punkt x von der Menge M.

Weitere Formulierungen

In obiger Formulierung kann der Punkt x durch eine kompakte konvexe Menge ersetzt werden. Man erhält dann den folgenden Satz:

Sei X ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über  \R oder  \mathbb{C} . Seien weiter M \subset X eine nicht-leere, abgeschlossene, konvexe Menge und K \subset X \setminus M eine nicht-leere, kompakte, konvexe Menge. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional  \varphi \in X' mit

\sup\{{\rm Re} (\varphi(x))\ |\ x\in K\} < \inf\{{\rm Re} (\varphi(y))\ |\ y \in M\}.

Schließlich kommt man zu einer schwächeren Trennungseigenschaft, wenn man in obiger Version auf die Abgeschlossenheit und Kompaktheit verzichtet:

Sei X ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über  \R oder  \mathbb{C} . Seien weiter M_1, M_2 \subset X nicht-leere, disjunkte, konvexe Mengen, M2 sei offen. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional  \varphi \in X' mit

\sup\{{\rm Re} (\varphi(x))\ |\ x\in M_1\} < {\rm Re} (\varphi(y)) \ \ \forall y\in M_2.

Hyperebenen

Im Anschauungsraum {\mathbb R}^3 werden disjunkte konvexe Mengen durch Ebenen getrennt.

Mengen der Form \{x\in X; {\rm Re}(\varphi(x)) = r\}, wobei \varphi\in X' und r\in{\mathbb R}, sind abgeschlossene Hyperebenen. Sie zerlegen den Raum X in einen oberen Halbraum \{x\in X; {\rm Re}(\varphi(x)) \ge r\} und einen unteren Halbraum \{x\in X; {\rm Re}(\varphi(x)) \le r\}. Zu einer kompakten konvexen Menge und einer dazu disjunkten abgeschlossenen konvexen Menge kann man nach obigem Trennungssatz eine Hyperebene finden, so dass die beiden Mengen in unterschiedlichen Halbräumen liegen, und zwar jeweils im Inneren dieser Halbräume. Man sagt, die Hyperebene trenne die beiden konvexen Mengen. Das ist im 2-dimensionalen und 3-dimensionalen Fall besonders anschaulich, da die Hyperebenen in diesen Fällen Geraden bzw. Ebenen sind.

Die disjunkten, konvexen Mengen M1 und M2 lassen sich nicht durch offene Halbräume trennen.

Hat man zwei disjunkte konvexe Mengen in X, von denen eine offen ist, so gibt es zu diesen nach der zuletzt genannten Version des Trennungssatzes ebenfalls eine Hyperebene, so dass die beiden Mengen in unterschiedlichen Halbräumen liegen. Im Allgemeinen kann man aber nicht mehr erreichen, dass beide im Inneren der Halbräume liegen. Dazu betrachte man in X={\mathbb R}^2 die untere Halbebene M_1:=\{(x,y)\ |\ y\le 0\} und die offene Menge oberhalb des Graphen der Exponentialfunktion M_2:=\{(x,y)\ |\ y>e^x\}. Wie durch nebenstehende Zeichnung verdeutlicht, ist \{(x,y)\ |\ \varphi(x,y) = 0\} mit φ(x,y): = y die einzige trennende Hyperebene, und M1 liegt nicht im Inneren des zugehörigen Halbraums.

Anwendungen

Dieser Satz hat auch außerhalb der Funktionalanalysis viele wichtige Anwendungen und stellt für viele Beweise ein nicht-konstruktives Existenzargument dar, unter anderem:

Literatur


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Hahn-Banach — Der Satz von Hahn Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen… …   Deutsch Wikipedia

  • Lineare Trennbarkeit — Lineare Trennung im zwei dimensionalen Raum. In der Mathematik bezeichnet man zwei Mengen eines n dimensionalen Vektorraumes als linear separierbar (auch: trennbar), wenn eine Trennebene als Hyperebene existiert, die sie trennt. Im zwei… …   Deutsch Wikipedia

  • Lokal konvex — Lokalkonvexer Vektorraum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Abstrakte Algebra Lineare Algebra Analytische Geometrie Funktionalanalysis ist Spezialfall von …   Deutsch Wikipedia

  • Lokal konvexer Raum — Lokalkonvexer Vektorraum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Abstrakte Algebra Lineare Algebra Analytische Geometrie Funktionalanalysis ist Spezialfall von …   Deutsch Wikipedia

  • Lokalkonvex — Lokalkonvexer Vektorraum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Abstrakte Algebra Lineare Algebra Analytische Geometrie Funktionalanalysis ist Spezialfall von …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Hahn-Banach — Der Satz von Hahn Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen… …   Deutsch Wikipedia

  • Farkas' Lemma — Das Lemma von Farkas ist ein mathematischer Hilfssatz (Lemma). Er wurde 1902 von Julius Farkas aus Klausenburg (damals Österreich Ungarn, heute Rumänien) als „Grundsatz der einfachen Ungleichungen“ veröffentlicht. Als eine der ersten Aussagen… …   Deutsch Wikipedia

  • Farkas’ Lemma — Das Lemma von Farkas ist ein mathematischer Hilfssatz (Lemma). Er wurde 1902 von Julius Farkas aus Klausenburg (damals Österreich Ungarn, heute Rumänien) als „Grundsatz der einfachen Ungleichungen“ veröffentlicht. Als eine der ersten Aussagen… …   Deutsch Wikipedia

  • Konvexe Menge — eine konvexe Menge eine nichtkonvexe Menge In der …   Deutsch Wikipedia

  • Lineare Separierbarkeit — Zwei voneinander nicht linear separierbare Relationen in …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”