Beth-Funktion

Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als $\beth$ geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.

Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl α eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl $\beth_\alpha$ zu^[1]:

• $\beth_0 := \aleph_0$, wobei $\aleph_0$ die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.
• $\beth_{\alpha+1} := 2^{\beth_\alpha}$ für Nachfolger-Ordinalzahlen α + 1. Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.
• $\beth_\alpha := \bigcup \{\beth_\beta;\, \beta < \alpha\}$ für Limes-Ordinalzahlen α.

Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit $\aleph_1 = \beth_1$, denn $\beth_1$ ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum $\R$. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu $\aleph = \beth$, das heißt $\aleph_\alpha = \beth_\alpha$ für alle Ordinalzahlen α.

Eine Limes-Kardinalzahl κ heißt ein starker Limes, wenn μ^λ < κ für alle Kardinalzahlen λ,μ < κ. Eine Kardinalzahl κ ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn $\kappa = \beth_\xi$ für eine Limes-Ordinalzahl ξ^[2].

Einzelnachweise

1. ↑ Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2, Kapitel I.5, Seite 55
2. ↑ W.W. Comfort, S. Negrepontis: The Theory of Ultrafilters, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 211 (1974), ISBN 3540066047, Lemma 1.23